[論文レビュー] Is Cheeger-type Approximation Possible for Nonuniform Sparsest Cut?

Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非一様スパースカット問題に対するチェーバー型近似—最小カットスパarsityに関する $ O(\sqrt{\text{opt}}) $ 界—が可能かどうかを調査する。一般の場合には、スペクトル法、Leighton-Raoの線形計画法、Goemans-Linialの半定形計画法の緩和によっては、そのような近似は不可能であると証明するが、$ H $ がランク1のグラフである場合にはGoemans-Linial SDPを用いることで可能であると示し、$ H $ が1つの辺（つまり最小 $ s $-$ t $-カット）である場合にはほぼ線形時間のチェーバー型近似が可能であることを示す。

ABSTRACT

In the {\em nonuniform sparsest cut} problem, given two undirected graphs $G$ and $H$ over the same set of vertices $V$, we want to find a cut $(S,V-S)$ that minimizes the ratio between the fraction of $G$-edges that are cut and the fraction of $H$-edges that are cut. The ratio (which is at most 1 in an optimal solution) is called the {\em sparsity} of the cut. In the {\em uniform sparsest cut} problem, $H$ is a clique over $V$. If $G$ is regular, it is possible to find a solution to the uniform sparsest cut of cost $O(\sqrt{opt})$ in nearly linear time. Is such an approximation, which we call "Cheege-type" approximation, achievable in the non-uniform case? We show that the answer is negative, assuming the Unique Games Conjecture, for general H. Furthermore, the Leighton-Rao linear programming relaxation and the spectral relaxation fail to find such an approximation even if $H$ is a clique over a subset of vertices. Using semidefinite programming, however, we can find Cheeger-type approximations in polynomial time whenever the adjacency matrix of $H$ has rank 1. (This includes the cases in which $H$ is a clique over a subset of vertices.)

研究の動機と目的

• 非一様スパースカット問題に対するチェーバー型近似—$ O(\sqrt{\text{opt}}) $—が可能かどうかを特定すること。
• 標準的な緩和法（スペクトル法、Leighton-Rao、Goemans-Linial SDP）がそのような近似を達成する際の制限を分析すること。
• 一般に不可能であるにもかかわらず、チェーバー型近似が依然として可能となる条件を同定すること。
• 特に最小 $ s $-$ t $-カット問題のような特殊ケースにおけるほぼ線形時間のアルゴリズムを探索すること。
• チェーバー型近似とユニークゲーム予想との関係を確立すること。

提案手法

• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \text{opt} = 1/2 $ と $ \text{opt} = \varepsilon $ を区別することは、ユニークゲーム困難であることを証明し、$ O(\sqrt{\text{opt}}) $ 近似が不可能であることを示唆する。
• 非一様スパースカットへの還元を構築し、任意の $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-近似アルゴリズムがユニークゲーム予想を反証することを示す。
• Goemans-Linial SDP緩和を分析し、$ \text{opt} = 1/2 $ であっても $ \text{sdp} = o(1) $ となる例が存在することを示し、$ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $-型の境界が成立しないことを否定する。
• スペクトル法およびLeighton-Rao緩和が、$ H $ がクリークまたはランク1であっても、チェーバー型近似を達成できないことを示す。
• $ H $ がランク1のグラフである場合に、チェーバー型近似を達成する新しいラウンド手法を導入する。
• $ s $-$ t $-カットの場合にほぼ線形時間のスペクトル法を適用し、最適フロー値が $ \varepsilon $ であるとき、$ O(1/\sqrt{\varepsilon}) $-近似カットが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非一様スパースカット問題に対して、チェーバー型近似—$ O(\sqrt{\text{opt}}) $—は達成可能か？
• RQ2 スペクトル法、Leighton-Rao、またはGoemans-Linial SDP といった標準的な緩和法が、非一様ケースにおいてもチェーバー型近似を達成できるか？
• RQ3 どの構造的条件が、一般に不可能であるにもかかわらず、チェーバー型近似の実現を可能にするか？
• RQ4 最小 $ s $-$ t $-カット問題に対して、ほぼ線形時間のアルゴリズムがチェーバー型近似を達成できるか？
• RQ5 チェーバー型近似とユニークゲーム予想との関係は何か？

主な発見

• 一般の非一様スパースカットに対してはチェーバー型近似が不可能である：任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \text{opt} = 1/2 $ と $ \text{opt} = \varepsilon $ を区別することは、ユニークゲーム困難である。
• Goemans-Linial SDP緩和は $ \Omega(\sqrt{\text{sdp}}) $-型の境界を達成できない。$ \text{opt} = 1/2 $ であっても $ \text{sdp} = o(1) $ となる例が存在する。
• スペクトル法およびLeighton-Rao緩和は、$ H $ がクリークまたはランク1のグラフであっても、チェーバー型近似を達成できない。
• $ H $ がランク1のグラフである場合には、Goemans-Linial SDPのラウンド法によりチェーバー型近似が達成可能である。
• $ s $-$ t $-カット問題（つまり $ H $ が1つの辺）の場合、ほぼ線形時間のチェーバー型近似が可能である：最適フロー値が総容量の $ \varepsilon $ 倍であるとき、容量が $ O(\sqrt{\varepsilon}) $ 倍の総容量のカットを発見できる。
• 非一様スパースカット問題に対して、任意の多項式時間の $ O(\sqrt{\text{opt}}) $-近似アルゴリズムが存在すれば、ユニークゲーム予想が反証されることになる。