[論文レビュー] Isometry groups of Lorentzian manifolds of finite volume and The local geometry of compact homogeneous Lorentz spaces

Felix Günther|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体積のローレンツ多様体に等長かつ局所的有効に作用するリー群を分類し、コンパクトな半単純、アーベル、および特定の非コンパクト代数（$τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$、$τ\mathfrak{he}_d$、ねじれヘイゼンベルク代数など）を含むリー代数の分解を同定する。主な結果は、任意のリッチ平坦なコンパクトな同調的ローレンツ空間は、平坦であるか、コンパクトな等長群を持つことである。これは、対称ローレンツ空間の幾何学における中心的問題を解決する。

ABSTRACT

Based on the work of Adams and Stuck as well as on the work of Zeghib, we classify the Lie groups which can act isometrically and locally effectively on Lorentzian manifolds of finite volume. In the case that the corresponding Lie algebra contains a direct summand isomorphic to the two-dimensional special linear algebra or to a twisted Heisenberg algebra, we also describe the geometric structure of the manifolds if they are compact. Using these results, we investigate the local geometry of compact homogeneous Lorentz spaces whose isometry groups have non-compact connected components. It turns out that they all are reductive. We investigate the isotropy representation, curvatures and holonomy. Especially, we obtain that any Ricci-flat compact homogeneous Lorentz space is flat or has compact isometry group.

研究の動機と目的

• 有限体積のローレンツ多様体に等長かつ局所的有効に作用するリー群を分類すること。
• 等長群に $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ やねじれヘイゼンベルク代数などの特定の非コンパクトリー代数が含まれる場合の、コンパクトなローレンツ多様体の幾何的構造を特徴付けること。
• 非コンパクトな連結等長群をもつコンパクトな同調的ローレンツ空間の局所幾何を、再帰性、同調表現、曲率、ホロノミーに焦点を当てて調査すること。
• 任意のリッチ平坦なコンパクトな同調的ローレンツ空間は、平坦であるか、コンパクトな等長群を持つことの確立。これはローレンツ幾何学における重要な未解決問題を解決する。

提案手法

• 基本領域上で計量作用を統合することにより定義される、等長代数 $τ\mathfrak{isom}(M)$ に誘導される対称双一次形式 $κ$ を用いる。
• 代数的分類技術を適用し、等長リー代数 $τ\mathfrak{g}$ を $τ\mathfrak{k} \oplus \u03c4\mathfrak{a} \oplus \u03c4\mathfrak{s}$ の直和として分解する。ここで $τ\mathfrak{k}$ はコンパクト半単純、$τ\mathfrak{a}$ はアーベル、$τ\mathfrak{s}$ は5つの指定されたリー代数のいずれかに同型である。
• アダムズとスタックの結果を非コンパクト設定に拡張するため、ゼイジブのアプローチを用いる。
• リー代数 $τ\mathfrak{gl}(V)$ の半単純部分代数の元に対して完全なジョルダン分解を適用し、加法的分解 $X = E + H + N$ がリー代数内にあることを保証する。
• 同調的セミリーマン多様体の曲率とホロノミーを、同調表現および等長群の構造を用いて分析する。
• コンパクトなローレンツ多様体の等長群が必ずしもコンパクトではないことを利用し、それがコンパクトである条件を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのリー群が有限体積のローレンツ多様体に等長かつ局所的有効に作用できるか？
• RQ2 等長群に $τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ またはねじれヘイゼンベルク代数に同型な直和成分が含まれる場合、どのような幾何的構造が生じるか？
• RQ3 非コンパクトな連結成分をもつコンパクトな同調的ローレンツ空間の等長群は、必ず再帰的か？
• RQ4 リッチ平坦なコンパクトな同調的ローレンツ空間が平坦であるか、またはコンパクトな等長群を持つ条件は何か？
• RQ5 等長代数に誘導される双一次形式 $κ$ は、等長群の可能な代数的型をどのように制約するか？

主な発見

• 有限体積のローレンツ多様体の等長リー代数は、$τ\mathfrak{k} \oplus \u03c4\mathfrak{a} \oplus \u03c4\mathfrak{s}$ の直和として分解され、ここで $τ\mathfrak{k}$ はコンパクト半単純、$τ\mathfrak{a}$ はアーベル、$τ\mathfrak{s}$ は5つの指定されたリー代数のいずれかに同型であり、$τ\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ やねじれヘイゼンベルク代数を含む。
• 等長群に $τ\mathfrak{s} \cong \u03c4\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$ または $τ\mathfrak{he}_d^\lambda$ によって生成される部分群が含まれる場合、その部分群の中心がコンパクトであるための必要十分条件は、それが等長群に閉じていることである。
• 等長群の連結成分が非コンパクトであるコンパクトな同調的ローレンツ空間は、同調表現および等長代数の構造を用いて再帰的であることが示された。
• リッチ平坦なコンパクトな同調的ローレンツ空間は、曲率とホロノミーの分析により、平坦であるか、コンパクトな等長群を持つことが証明された。
• 等長代数 $τ\mathfrak{isom}(M)$ に誘導される双一次形式 $κ$ が半正定値であるための必要十分条件は、等長群が多様体上で局所自由に作用することである。
• 誘導形式 $κ$ が不定であり、作用が特定の分布に関して直交する場合、多様体はねじれヘイゼンベルク群上のローレンツ計量と局所的に等長である。