[論文レビュー] Iterative and Iterative-Noniterative Integral Solutions in 3-Loop Massive QCD Calculations

Jakob Ablinger, Arnd Behring+7 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、3ループの質量のあるQCD計算に現れる完全楕円積分および高次の超越関数を含む非反復的積分——反復的積分とは異なる構造を持つ解——を導入する。モジュラー形式、ラメルト＝アイゼンスタイン級数、q級数展開を用いた体系的な枠組みを提示し、Sigma や HarmonicSums といった記号計算ツールを用いて、反復的でない構造を自動的に表現することで、異常次元およびオペレータ行列要素の自動計算を可能にする。

ABSTRACT

Various of the single scale quantities in massless and massive QCD up to 3-loop order can be expressed by iterative integrals over certain classes of alphabets, from the harmonic polylogarithms to root-valued alphabets. Examples are the anomalous dimensions to 3-loop order, the massless Wilson coefficients and also different massive operator matrix elements. Starting at 3-loop order, however, also other letters appear in the case of massive operator matrix elements, the so called iterative non-iterative integrals, which are related to solutions based on complete elliptic integrals or any other special function with an integral representation that is definite but not a Volterra-type integral. After outlining the formalism leading to iterative non-iterative integrals,we present examples for both of these cases with the 3-loop anomalous dimension $\gamma_{qg}^{(2)}$ and the structure of the principle solution in the iterative non-interative case of the 3-loop QCD corrections to the $ ho$-parameter.

研究の動機と目的

• 標準的な反復的ポリログラスを超えた、3ループの質量のあるQCD計算における非反復的積分構造の出現を解明すること。
• フェยマン積分における第一種および第二種完全楕円積分を含む解の体系的表現を構築すること。
• 質量のあるオペレータ行列要素に現れる因数分解不能な2階微分方程式を扱う記号計算技術を拡張すること。
• 高度な代数的および特殊関数的手法を用いて、3ループの異常次元およびウィルソン係数の自動評価を可能にすること。
• 既存の楕円ポリログラス枠組みを、q依存パラメータおよびモジュラー形式を含む物理的振幅に一般化すること。

提案手法

• 1つの核がボルテラ型積分として表現できない定積分（例：ミンコフスキー＝バーンズ積分や楕円積分）であるネスト型積分として、反復的でない積分を形式化する。
• Sigmaパッケージを用いて因数分解不能な2階微分方程式を同定し、有理係数を持つ非同次形に還元する。
• 2階微分方程式の解を超幾何関数 2F1 で表現し、連続的関係および三角形群関係を介して完全楕円積分 K および E に写像する。
• q = exp[−πK(1−z)/K(z)] を用いたモジュラーパラメータ化により、運動量変数および非同次項をモジュラー関数および形式で表現する。
• ラメルト＝アイゼンスタイン級数および楕円ポリログラスを用いてq級数解を構築し、x=0およびx=1の近傍で解析的かつ高速収束する展開を可能にする。
• Sigma、EvaluateMultiSums、SumProduction、HarmonicSums を用いた記号計算パイプラインを実装し、ミンコフスキー空間における差分方程式および微分方程式の解法を自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復的でない積分は、3ループの質量のあるQCD計算においてどのように生じるのか。また、標準的な反復的積分とは何が異なるのか。
• RQ2 質量のあるオペレータ行列要素に現れる因数分解不能な2階微分方程式の解の関数的構造は何か。
• RQ3 完全楕円積分およびそれらの組み合わせを、3ループフェイマン積分の解を体系的に表現するために使用できるか。
• RQ4 モジュラー形式および楕円ポリログラスに基づくq級数展開が、非反復的積分に対して統一的枠組みを提供する程度はどの程度か。
• RQ5 記号計算ツールは、これらの非反復的構造の代数的複雑性を処理でき、異常次元およびウィルソン係数の自動計算を可能にするか。

主な発見

• 3ループの異常次元 γ(2)qg は、非可約な2階微分方程式に完全楕円積分 K および E が現れるため、反復的でない積分構造を含む。
• 3ループの ρパラメータ補正を記述する微分方程式の解は、連続的関係および三角形群関係を介して K および E に写像される 2F1 関数で表現される。
• 3ループの ρパラメータ補正の非同次解は、2F1 関数における z 依存性が統合範囲に還元できないため、反復的でない積分であることが示された。
• x=0およびx=1の近傍におけるべき級数展開は、50項程度で O(10−30) の精度に達し、高速収束を示している。
• q級数解はモジュラー形式およびラメルト＝アイゼンスタイン級数を用いて構築され、K(z) や 1/K(z) といった主要な構成要素がq依存パラメータを持つ楕円ポリログラスで表現される。
• モジュラー形式に 1/ηk(τ) 要素が存在するため、標準的な楕円ポリログラスへの完全な対角化は不可能であり、パラメータ x および y が q に依存する一般化された枠組みの導入が不可避である。