[論文レビュー] Kac-Moody symmetric spaces

Walter Freyn, Hartnick, Tobias+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、連続的な点反復写像が公理 (RS1)–(RS4) を満たすことで、非コンパクトなスプリット型のリーマン対称空間を一般化するトポロジカルな反射空間としてのカック＝ムーディ対称空間を導入する。非球面的で非アフィンな既約カック＝ムーディ対称空間は、不変因果構造を備え、その未来および過去の境界は、対応するカック＝ムーディ群のツインビルディングの二つの半分の幾何的実現と位相同相であり、自己同型はそれらの境界上での作用によって一意に決定されることを示す。

ABSTRACT

In the present article we introduce and study a class of topological reflection spaces that we call Kac-Moody symmetric spaces. These generalize Riemannian symmetric spaces of non-compact type. We observe that in a non-spherical Kac-Moody symmetric space there exist pairs of points that do not lie on a common geodesic; however, any two points can be connected by a chain of geodesic segments. We moreover classify maximal flats in Kac-Moody symmetric spaces and study their intersection patterns, leading to a classification of global and local automorphisms. Unlike Riemannian symmetric spaces, non-spherical non-affine irreducible Kac-Moody symmetric spaces also admit an invariant causal structure. For causal and anti-causal geodesic rays with respect to this structure we find a notion of asymptoticity, which allows us to define a future and past boundary of such Kac-Moody symmetric space. We show that these boundaries carry a natural polyhedral structure and are cellularly isomorphic to the halves of the geometric realization of the twin buildings of the underlying split real Kac-Moody group. We also show that every automorphism of the symmetric space is uniquely determined by the induced cellular automorphism of the future and past boundary. The invariant causal structure on a non-spherical non-affine irreducible Kac-Moody symmetric space gives rise to an invariant pre-order on the underlying space, and thus to a subsemigroup of the Kac-Moody group. We conclude that while in some aspects Kac-Moody symmetric spaces closely resemble Riemannian symmetric spaces, in other aspects they behave similarly to ordered affine hovels, their non-Archimedean cousins.

研究の動機と目的

• 滑らかさの仮定を除いたトポロジカルな対称空間の理論を構築し、リーマン対称空間を一般化すること。
• スプリット実カック＝ムーディ群に対して、単純なリー群がリーマン対称空間に作用するのを拡張するトポロジカルな対称空間を関連付けること。
• カック＝ムーディ対称空間における最大フラットの分類とその交差パターンの特定。
• 非球面的で非アフィンな既約カック＝ムーディ対称空間に不変因果構造を定義し、その性質を調べること。
• 因果的測地線の漸近的性質を用いて未来および過去の境界を構成し、それがツインビルディング実現と細胞同型であることを示すこと。

提案手法

• ルーズの公理 (RS1)–(RS4) に基づくトポロジカルな反射空間の枠組みを採用し、滑らかさの代わりに点反復写像の連続性を仮定する。
• カルタン部分代数上のウェイル群の縮小カック＝ムーディ表現を用いて、対称空間の基本的幾何を定義する。
• カルタン部分代数上の双一次形式の標準的スケーリング類によって誘導される不変な前順序を用いて、因果的測地線を定義する。
• 因果的および反因果的測地線の漸近的性質を定義し、未来および過去の境界を導入する。
• 境界を多面体セル複体として構成し、それがカック＝ムーディ群のツインビルディングの二つの半分の幾何的実現と細胞同型であることを証明する。
• 対称空間の任意の自己同型は、未来および過去の境界上の誘導されたセル自己同型によって一意に決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさや計量性の仮定を除き、トポロジカルおよび反射的構造のみを用いて、リーマン対称空間の一般化を定義できるか？
• RQ2 非球面的で非アフィンなカック＝ムーディ対称空間は不変因果構造を備えるか？ もし備えるならば、それは群の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 因果的測地線の漸近的挙動を用いて、対称空間のグローバル幾何を符号化する境界構造を定義できるか？
• RQ4 このような対称空間の未来および過去の境界は、対応するカック＝ムーディ群のツインビルディングの幾何的実現と細胞同型か？
• RQ5 対称空間の自己同型は、境界上での作用によってどの程度一意に決定されるか？

主な発見

• 非球面的カック＝ムーディ対称空間では、すべての点のペア間を結ぶ測地線分が存在しないが、任意の二点は測地線分の鎖で接続可能である。
• カック＝ムーディ対称空間における最大フラットは分類され、その交差パターンも完全に記述されており、グローバルおよびローカル自己同型の分類に繋がる。
• 非球面的で非アフィンな既約カック＝ムーディ対称空間は不変因果構造を備え、これにより空間上の前順序とカック＝ムーディ群の部分半群が得られる。
• このような対称空間の未来および過去の境界には自然な多面体セル構造が入り、対応するカック＝ムーディ群のツインビルディングの二つの半分の幾何的実現と細胞同型である。
• 対称空間の任意の自己同型は、未来および過去の境界上の誘導されたセル自己同型によって一意に決定される。
• カルタン部分代数上の双一次形式の標準的スケーリング類は、特異超平面の補集合を保存する線形写像の群が相似変換によって作用する唯一の類として特徴づけられる。