[論文レビュー] Kaehler structures on T*G having as underlying symplectic form the standard one

Johannes Huebschmann, Karl Leicht|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンpact連結リー群 $G$ の余接 bundle $\T^*G$ における左不変および双不変な複素構造を分類し、それらが標準的シンプレクティック形式と組み合わさってケーラー構造を生じることを示している。このような複素構造は滑らかな埋め込みによって $G^\mathbb{C}$ に由来し、$G$-不変関数を用いたリー代数上の恒等写像のスケーリングにより、$G^\mathbb{C}$ の適切な開部分集合への双不変ケーラー微分同相写像を構成する非標準的ケーラー構造が得られる。

ABSTRACT

For a connected Lie group G, we show that a complex structure on the total space TG of the tangent bundle of G that is left invariant and has the property that each left translation G-orbit is a totally real submanifold is induced from a smooth immersion of TG into the complexification of G. For G compact and connected, we then characterize left invariant and biinvariant complex structures on the total space T*G of the cotangent bundle of G which combine with the tautological symplectic structure to a Kaehler structure.

研究の動機と目的

• 複素構造が標準的シンプレクティック形式と組み合わさってケーラー構造を生じる $\T^*G$ 上のすべての左不変および双不変複素構造を分類すること。
• $\T^*G$ を用いた物理的モデルが複素構造の選択に依存するかどうか、特に分層空間上のゲージ理論的量子力学においてそうなるかを特定すること。
• リー代数上での恒等写像の非自明なスケーリングを通じて、標準ケーラー構造を一般化し、シンプレクティック形式を保つこと。
• このような複素構造が滑らかな埋め込みによって $G^\mathbb{C}$ に由来する条件を特定すること。

提案手法

• 接続1次形式および水平1次形式を用いて、$\T G \cong G \times \mathfrak{g}$ 上にほぼ複素構造を定義し、積分可能性条件によって複素構造を保証する。
• 一般化された極座標写像 $\Pi: G \times \mathbb{A}_{\mathfrak{g}} \to G^\mathbb{C}$ の適用。この写像は、$G$-不変関数 $\varphi$ を用いた恒等写像のスケーリングを施す写像 $\chi_{\mathfrak{g}}: \mathbb{A}_{\mathfrak{g}} \to \mathbb{A}_{\mathfrak{g}}$ を介して構成される。
• $\chi_{\mathfrak{g}}$ の微分を用いて1次形式 $\langle \mu, s_\chi \rangle$ を構成し、閉型およびシンプレクティック形式と整合することを保証する。
• 得られた複素構造が $G$-双不変であり、標準的シンプレクティック形式と組み合わさってケーラー構造を生じることを検証する。
• 複素化されたリー代数および無限小データを用いて、$\T^*G$ 上での複素構造をグローバルに解釈する。
• $\chi_{\mathfrak{g}}(a) = \varphi(\|a\|^2)a$ として、リー代数上での恒等写像を $\varphi$ を用いてスケーリングする。ここで $\varphi$ は滑らかで正の関数であり、$\chi$ が局所微分同相写像であるように選ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの左不変複素構造が $\T^*G$ 上で標準的シンプレクティック形式と組み合わさってケーラー構造を生じるか？
• RQ2 $\T^*G$ 上の複素構造が滑らかな埋め込みによって $G^\mathbb{C}$ に由来するための条件は何か？
• RQ3 標準的構造を超えて、$\T^*G$ 上の双不変ケーラー構造を、標準的シンプレクティック形式を保ちながら構成できるか？
• RQ4 $\mathfrak{g}$ の不変量の $G$-不変関数が非標準ケーラー構造を構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 $G$ が単純群の場合、恒等写像のスケーリングによって得られない双不変ケーラー構造は存在するか？

主な発見

• $G$-軌道がすべて全実的となるような $\T^*G$ 上のすべての左不変複素構造は、滑らかな埋め込みによって $G^\mathbb{C}$ に由来する。
• コンパクト連結な $G$ に対して、$\T^*G$ 上の複素構造が標準的シンプレクティック形式と組み合わさってケーラー構造を生じるための必要十分条件は、リー代数上の恒等写像が $G$-不変関数 $\varphi$ を用いてスケーリングされ、$\chi(x) = x\varphi(x^2)$ が局所微分同相写像である場合に限る。
• 非標準的双不変ケーラー構造は、$\chi_{\mathfrak{g}}(a) = \varphi(\|a\|^2)a$ が局所微分同相写像ではあるが全射でないような $\varphi$ を選ぶことで構成され、$G^\mathbb{C}$ の適切な開部分集合へのケーラー微分同相写像をもたらす。
• $\varphi \equiv 1$ のとき、構成は $\T^*G \cong G^\mathbb{C}$ 上の標準ケーラー構造を回復する。
• $\langle \mu, s_\chi \rangle$ は閉型であり、$F(a) = \|a\|\chi(\|a\|) - \Xi(\|a\|)$ に対して $dF$ に等しい。これによりシンプレクティック構造と整合性が保証される。
• $\varphi(x^2) = \arctan(x)/x$ のとき、写像 $\chi_{\mathfrak{g}}$ は像上への微分同相写像ではあるが全射ではない。この場合、標準構造とは同型でないケーラー構造が $\T^*G$ 上に得られる。