[論文レビュー] KMS states on C^*-algebras associated with self-similar sets

Tsuyoshi Kajiwara, Yasuo Watatani|arXiv (Cornell University)|May 27, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限個の分岐点を持つ自己相似集合に関連する C*-代数上のゲージ作用における KMS 状態を分類する。ヒルベルト C*-加群に『パッチド基底』を構成することで、自己相似集合上のボレル確率測度が KMS 状態に拡張可能となる条件を導出し、β = log N のとき、分岐点が存在しない場合にはハッチンソン測度が一意の KMS 状態を与えるが、β > log N のときには分岐点の軌道に台を持つ測度から追加の KMS 状態が生じることを示した。単位区間およびシエルピンスキーのギャスケットの例によって検証された。

ABSTRACT

In this paper, we study KMS states for the gauge actions on C${}^*$-algebras associated with self-similar sets whose branch points are finite. If the self-similar set does not contain any branch point, the Hutchinson measure gives the unique KMS state. But if the self-similar set dose contain a branch point, there sometimes appear other KMS states which come from branch points. For this purpose we construct explicitly a basis for a Hilbert C${}^*$-module associated with a self-similar set with finite branch condition. Using this we get condition for a Borel probability measure on K to be extended to a KMS state on the C${}^*$-algebra associated with the original self-similar set. We classify KMS states for the case of dynamics of unit interval and the case of Sierpinski gasket which is related with Complex dynamical system. KMS states for these examples are unique and given by the Hutchinson measure if $β$ is equal to $\log N$, where $N$ is the number of contractions. They are expressed as convex combinations of KMS states given by measures supported on the orbit of the branched points if $β> \log N$.

研究の動機と目的

• 分岐点を含む自己相似集合に関連する C*-代数上のゲージ作用における KMS 状態の構造を理解すること。
• 自己相似集合上のボレル確率測度が関連する C*-代数上の KMS 状態に拡張可能となる条件を特定すること。
• 非可逆的力学系における分岐点の軌道構造と KMS 状態の分類との間の関係を確立すること。
• 従来の研究で用いられた摂動や弱収束の技法を避けて、トレースの KMS 状態への拡張を直接的・基底に基づいて証明すること。
• 2 つの主要な例について KMS 状態を明示的に分類すること：テント写像による単位区間および有理写像によるシエルピンスキーのギャスケット。

提案手法

• 自己相似集合が有限分岐条件を満たす場合に生じるヒルベルト C*-双加群に対して『パッチド基底』を構成する。
• 可算基底を用いて、C(K) 上のトレース的状態が Cuntz-Pimsner 代数 O_X 上の KMS 状態に拡張可能となる条件を表現する。
• KMS 状態に拡張可能な測度を特徴付けるルエル・ペロン＝フロベニウス型の作用素を導出する。
• 2 つの代表的な例にこの手法を適用する：2 つの縮小写像をもつ単位区間と、3 つの縮小写像をもつシエルピンスキーのギャスケット。
• 分岐点の逆写像の力学および分岐点の軌道構造を用いて、分岐点の軌道に台を持つ状態の凸結合として KMS 状態を分類する。
• β > log N のとき、KMS 状態が各分岐点の軌道に関連する極小状態の凸結合であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の分岐点をもつ自己相似集合上のボレル確率測度が、関連する C*-代数上の KMS 状態に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 分岐点の存在が、ゲージ作用における KMS 状態の存在および一意性にどのように影響するか？
• RQ3 逆温度 β が log N を超えるとき、KMS 状態空間の正確な構造は何か？
• RQ4 分岐点の軌道構造は、KMS 状態の極小成分への分解とどのように関係するか？
• RQ5 ハッチンソン測度は、分岐点をもつ・もたない自己相似集合における KMS 状態の分類において、果たす役割は何か？

主な発見

• 分岐点のない自己相似集合では、β = log N のときハッチンソン測度が一意の KMS 状態を与える。
• シエルピンスキーのギャスケットのように分岐点を含む自己相似集合では、β > log N のとき追加の KMS 状態が生じる。
• シエルピンスキーのギャスケットでは、β > log 3 の β-KMS 状態は、3 つの極小 KMS 状態の凸結合であり、それぞれが 3 つの分岐点のうちの 1 つに対応する。
• β > log 3 の各極小 KMS 状態は、分岐点の前向き軌道に台を持ち、分岐点の逆像に点質量を持つ測度として与えられる。
• シエルピンスキーのギャスケットにおける β > log 3 の β-KMS 状態の集合は、3 つの分岐点に対応する頂点を持つ 2 次元単体と位相的に同相である。
• 2 つの縮小写像をもつ単位区間の場合は、β = log 2 のみで一意の β-KMS 状態が存在し、それは正規化されたルベーグ測度で与えられる。