[論文レビュー] $L^q(L^p)$-theory of stochastic differential equations

Pengcheng Xia, Longjie Xie+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、乗法的ノイズを伴う確率微分方程式の $L^q(L^p)$-理論を確立し、初期条件に関する強い解の弱微分可能性を証明し、漂移項および拡散係数に局所的 $L^p$-可積分性条件を課した下で、Bismut-Elworthy-Li 公式を導出する。さらに、$b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ という臨界端点ケースにおける弱適切性を証明し、Zvonkin の変換と Krylov の推定を用いて、局所的かつ特異的係数へ既存結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we show the weak differentiability of the unique strong solution with respect to the starting point $x$ as well as Bismut-Elworthy-Li's derivative formula for the following stochastic differential equation in $\mathbb R^d$: $$ { m d} X_t=b(t,X_t){ m d} t+σ(t,X_t){ m d} W_t,\ \ X_0=x\in\mathbb R^d, $$ where $σ$ is bounded, uniformly continuous and nondegenerate, $ ablaσ\in \widetilde{\mathbb L}^{p_1}_{q_1}$ and $b\in \widetilde{\mathbb L}^{p_2}_{q_2}$ for some $p_i,q_i\in[2,\infty)$ with $\frac{d}{p_i}+\frac{2}{q_i}<1$, $i=1,2$, where $\widetilde{\mathbb L}^{p_i}_{q_i}, i=1,2$ are some localized spaces. Moreover, in the endpoint case $b\in \widetilde{\mathbb L}^{d; { m uni}}_\infty$, we also show the weak well-posedness.

研究の動機と目的

• 特異な漂移項をもつSDEの解に関する弱微分可能性およびMalliavin正則性の結果を、有界可測および $L^p(L^q)$-漂移項に対して既に確立されたものと統一・拡張し、局所可積分係数のケースに適用すること。
• 漂移項および拡散係数に局所的 $L^p(L^q)$-条件を課した下で、乗法的ノイズを伴うSDEの解フローに対するBismut-Elworthy-Li 衍生公式を確立すること。
• 漂移項が $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ に属する臨界端点ケースにおいて、弱解の存在および一意性を証明すること。ここでは、従来の方法が正則性の欠如により失敗する。
• Zvonkinの変換とKrylovの推定を用いて、$L^q(L^p)$-設定において非退化拡散係数と特異的係数を統合的に取り扱う統一的枠組みを構築すること。

提案手法

• Zvonkinの変換を用いて、SDEをより良好な可積分性を持つ形に変換する正則化変換を構築し、$L^p(L^q)$-推定の適用を可能にする。
• Kolmogorov方程式に対するKrylovの事前推定を、局所的 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-空間で用い、解およびその導関数の成長を制御する。
• 双対性の議論とSobolev埋め込み推定を用いて、$\widetilde{\mathbb{H}}^{2,p}_{q}$-空間における後向きKolmogorov方程式の解の正則性を制御する。
• 滑らか化とChebyshevの不等式による緊密性の議論を用いて、近似解列の極限に移行し、連続経路空間における確率測度の収束を保証する。
• $\chi_R$ を用いたカットオフ技術を導入し、問題を局所化し、優越収束定理を適用可能にすることで、滑らか化された解に適用した伊藤の公式における極限への移行を可能にする。
• マルティンゲール解の特徴付けと、後向き方程式と伊藤の公式から導かれる恒等式 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$ を用いて、一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所可積分漂移項および非退化拡散係数をもつSDEに対して、初期条件に関する解フローの弱微分可能性は、確立可能か？
• RQ2 漂移項および拡散係数に $L^p(L^q)$-可積分性条件を課した場合、特に局所的状況下でも、乗法的ノイズを伴うSDEに対してBismut-Elworthy-Li 衍生公式は成立するか？
• RQ3 漂移項が臨界端点空間 $\widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ に属する場合、弱適切性（弱解の存在および一意性）は達成可能か？
• RQ4 漂移項が局所可積分である場合に、Zvonkinの変換は、有界かつ一様連続的、非退化拡散係数のケースに適応可能か？
• RQ5 特異的係数の存在下で、正則性および解の一意性を証明するための $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-枠組みにおけるKrylovの推定の役割は何か？

主な発見

• 係数 $\sigma$ が有界かつ一様連続的であり、非退化的で、$\nabla\sigma \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}$、$b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_2}_{q_2}$ を満たすものとし、$p_i, q_i \in [2,\infty)$ で $\frac{d}{p_i} + \frac{2}{q_i} < 1$ を満たすと仮定する。この下で、SDEの強い解 $X_t(x)$ は初期条件 $x$ に関してほとんど確実に弱微分可能である。
• 解フローに対してBismut-Elworthy-Li 衍生公式が導出され、解経路の関数の期待値として、遷移密度の勾配の確率的表現が得られる。
• 端点ケース $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ において、弱解の存在および一意性が確立され、古典的 $L^p(L^q)$-枠組みを超えて適用範囲が拡張される。
• Krylovの推定とChebyshevの不等式を用いて近似列 $X^n_t$ の緊密性を導出し、確率測度がマルティンゲール解に収束することを保証する。
• 後向きKolmogorov方程式の終端条件がゼロである解に対して、すべてのテスト関数 $f$ に対して $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$ が成り立つことを示し、マルティンゲール解の一意性を証明する。
• Zvonkinの変換が有界漂移項の場合に失敗する問題に対し、局所的 $L^p(L^q)$-空間と双対性の議論を用いることで、$\mathbb{H}^{2,\infty}$-解の必要性を回避する手法が成功裏に適用された。