[論文レビュー] La conjecture locale de Gross-Prasad pour les repr\\'esentations temp\\'er\\'ees des groupes unitaires

Raphaël Beuzart-Plessis|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非アーチメデス的局所体上でのユニタリ群 $ G = U(n) $ から部分群 $ H = U(n-1) $ への制限において、素性の良い表現 $ \sigma $ の重複度 $ m(\pi, \sigma) $ を表す積分公式を確立する。標準的な素性の良い $ L $-パックェットに関する予想の下で、準分裂型および非準分裂型の両方の群の $ L $-パックェットの和集合に属するちょうど一対の $ (\pi, \sigma) $ が $ m(\pi, \sigma) = 1 $ を満たすことを証明し、素性の良い表現に対する局所グロス＝プラサド予想の重要な部分を確認する。

ABSTRACT

Let $E/F$ be a quadratic extension of non-archimedean local fields of characteristic 0 and let $G=U(n)$, $H=U(m)$ be unitary groups of hermitian spaces $V$ and $W$. Assume that $V$ contains $W$ and that the orthogonal complement of $W$ is a quasisplit hermitian space (i.e. whose unitary group is quasisplit over $F$). Let $\\pi$ and $\\sigma$ be smooth irreducible representations of $G(F)$ and $H(F)$ respectively. Then Gan, Gross and Prasad have defined a multiplicity $m(\\pi,\\sigma)$ which for $m=n-1$ is just the dimension of $Hom_{H(F)}(\\pi,\\sigma)$. For $\\pi$ and $\\sigma$ tempered, we state and prove an integral formula for this multiplicity. As a consequence, assuming some expected properties of tempered $L$-packets, we prove a part of the local Gross-Prasad conjecture for tempered representations of unitary groups. This article represents a straight continuation of recent papers of Waldspurger dealing with special orthogonal groups.

研究の動機と目的

• 特殊直交群に対するワルドスブルグの研究をユニタリ群へ拡張すること。
• ユニタリ群 $ U(n) $ から $ U(n-1) $ への制限において、素性の良い表現 $ \sigma $ の重複度 $ m(\pi, \sigma) $ を表す積分公式を確立すること。
• 素性の良い $ L $-パックェットに関する標準的予想の下で、準分裂型および非準分裂型の両方の群の $ L $-パックェットの和集合に属するちょうど一対の $ (\pi, \sigma) $ が $ m(\pi, \sigma) = 1 $ を満たすことを証明し、局所グロス＝プラサド予想の弱い形を確認すること。
• ワルドスブルグの研究にインspiredされた積分公式による重複度の一般化を、ユニタリ群の設定に拡張すること。

提案手法

• 表現 $ \pi $ から $ \sigma $ への $ H(F) \times U(F) $-不変線型写像の空間の次元として重複度 $ m(\pi, \sigma) $ を定義し、ユニポテンツ部分群 $ U(F) $ の一般性のある特徴 $ \xi $ によるねじれを加える。
• 正規直交分解から生じる、$ H $ 内の最大アニュラス的トーラスの共役類の代表元の集合 $ \mathcal{T} $ を構成する。
• $ \pi $ および $ \sigma $ のハリッシュ＝チャンドラの特徴展開を、正則半単純元 $ t $ の近傍で用い、零行列軌道積分の係数を含む $ T(F) $ 上の関数 $ c_\pi(t) $ および $ c_\sigma(t) $ を定義する。
• 重複度 $ m(\pi, \sigma) $ を、$ T \in \mathcal{T} $ における $ c_\pi(t) $、$ c_\sigma(t) $、およびウェイル積分測度の寄与を含む和として表す積分公式を導出する。
• 準分裂型 $ G_i, G_a $ および非準分裂型 $ H_i, H_a $ の間の双対性を用い、同型なトーラスからの寄与が $ t = 1 $ を除き打ち消しあうことを示し、総重複度が $ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) $ に等しくなることを導く。
• ロディエの基準を適用し、$ c_{\Pi_i}(1) $ および $ c_{\Sigma_i}(1) $ がヴェイラー・モデルの存在と一致することを示し、総重複度が 1 であることを結論づける。これにより、$ m(\pi, \sigma) = 1 $ を満たすちょうど一対の $ (\pi, \sigma) $ が存在することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ群 $ U(n) $ の素性の良い表現 $ \pi $ を $ U(n-1) $ に制限したとき、どの条件下で素性の良い表現 $ \sigma $ が重複度 1 で含まれるか？
• RQ2 特殊直交群に対するワルドスブルグの公式に類似した、ユニタリ群設定における重複度 $ m(\pi, \sigma) $ の積分公式を確立できるか？
• RQ3 素性の良い $ L $-パックェットの存在およびその期待される性質が、準分裂型および非準分裂型の両方の群の $ L $-パックェットの和集合に属するちょうど一対の $ (\pi, \sigma) $ が $ m(\pi, \sigma) = 1 $ を満たすことを示唆するか？
• RQ4 $ H $ 内のトーラスの安定的共役類の寄与は、積分公式における総重複度にどのように影響するか？

主な発見

• 重複度 $ m(\pi, \sigma) $ は、$ \pi $ および $ \sigma $ のハリッシュ＝チャンドラ特徴展開からの係数を含む、集合 $ \mathcal{T} $ 上の積分公式として与えられる。
• 素性の良い表現において、準分裂型および非準分裂型の両方の $ L $-パックェットにおける重複度の総和 $ m_{\Pi_i, \Sigma_i} + m_{\Pi_a, \Sigma_a} $ は、$ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) $ に等しい。
• 安定的共役類のトーラスからの寄与が（自明な類を除き）打ち消しあうため、総重複度は 1 である。
• $ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) $ が 1 であることは、両方の $ \Pi_i $ および $ \Sigma_i $ がヴェイラー・モデルを含むことと同値であり、これは $ L $-パックェットの性質に関する仮定によって保証される。
• ゆえに、ちょうど一対の $ (\pi, \sigma) \in (\Pi_i \times \Sigma_i) \cup (\Pi_a \times \Sigma_a) $ が $ m(\pi, \sigma) = 1 $ を満たすことが示され、素性の良い表現に対する局所グロス＝プラサド予想の弱い形が確認される。
• この結果は、ユニタリ群の素性の良い $ L $-パックェットの存在および期待される性質に依存しており、ラングランズプログラムにおける標準的予想である。