[論文レビュー] Lagrangian and Hamiltonian Geometries. Applications to Analytical Mechanics

Miron Radu|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

この独著は、接束および余接束上のラグランジュ幾何とハミルトニアン幾何を用いて、解析力学のための幾何的枠組みを構築し、非保存的および高次の力学系の厳密な定式化を可能にする。$k \geq 1$ 階のフィンスラー的、ラグランジュ的、ハミルトニアン的力学系を導入し、速度空間および運動量空間における非線形接続と変分法を用いて、運動方程式および保存則の統一的幾何的取り扱いを実現する。

ABSTRACT

The aim of the present text is twofold: to provide a compendium of Lagrangian and Hamiltonian geometries and to introduce and investigate new analytical Mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian. The fundamental equations (or evolution equations) of these Mechanics are derived from the variational calculus applied to the integral of action and these can be studied by using the methods of Lagrangian or Hamiltonian geometries. More general, the notions of higher order Lagrange or Hamilton spaces have been introduced and developed by the present author. The applications led to the notions of Lagrangian or Hamiltonian Analytical Mechanics of higher order. For short, in this text we aim to solve some difficult problems: The problem of geometrization of classical non conservative mechanical systems; The foundations of geometrical theory of new mechanics: Finslerian, Lagrangian and Hamiltonian;To determine the evolution equations of the classical mechanical systems for whose external forces depend on the higher order accelerations. My colleagues Professors M. Anastasiei, I. Bucataru, I. Mihai, K. Stepanovici made important remarks and suggestions and Mrs. Carmen Savin prepared an excellent print-form of the hand-written text. Many thanks to all of them.

研究の動機と目的

• 解析力学のためのラグランジュ幾何およびハミルトニアン幾何の包括的コンpendiumを提供すること。
• 速度依存力を持つ古典的非保存的力学系の幾何化問題を、接束の微分幾何学を用いて解決すること。
• $k \geq 1$ 階のフィンスラー的、ラグランジュ的、ハミルトニアン的力学系を導入し、それらを研究すること。
• 古典的変分原理を高次加速度へ一般化し、対応する運動方程式を導出すること。
• ラグランジュ空間およびハミルトニアン空間の $k$ 階の双対性をルジャンドル変換によって確立すること。

提案手法

• 微分可能多様体 $M$ の接束 $TM$ および余接束 $T^*M$ を用いて、1 階および $k \geq 1$ 階のラグランジュ空間およびハミルトニアン空間を構築する。
• 基本的幾何的対象を定義する：リウヴィルベクトル場 $\mathbb{C}$、接構造 $J$、半射影的ベクトル場 $S$、非線形接続 $N$、および計量的 $N$-線形接続 $D$。
• ルジャンドル変換を用いてラグランジュ幾何とハミルトニアン幾何を関連づけ、$L^{(k)n}$ と $H^{(k)n}$ 空間の双対性を確立する。
• 作用積分 $I(c) = \int_0^1 L(x, \dot{x}) \, dt$ に変分原理を適用することで、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• ラグランジュ関数から標準的半射影的ベクトル場および非線形接続を構成し、運動方程式の導出を可能にする。
• リーマン的、フィンスラー的、一般化ラグランジュ的系に理論を適用し、高次加速度に依存する外力も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度依存力を持つ非保存的力学系は、微分幾何学的手法を用いてどのように厳密に幾何化できるか？
• RQ2 外部力が高次加速度（$k \geq 2$）に依存する力学系の幾何的構造は何か？
• RQ3 接束の幾何学を用いて、フィンスラー的およびラグランジュ的力学系を一貫して定義・分析できるか？
• RQ4 ルジャンドル変換は、ラグランジュ力学とハミルトニアン力学の双対性を高次系へ拡張する上で果たす役割は何か？
• RQ5 外部力が位置の高次導関数に依存するリーマン的力学系の基本的運動方程式は何か？

主な発見

• 非保存的力学系は、接束 $TM$ の幾何に埋め込まれることで、長年の問題であった厳密な幾何化が達成された完全な幾何的枠組みが確立された。
• 理論は、フィンスラー的力学系 $\Sigma_F = (M, F, F_e)$ およびカルタン的力学系を導入し、リーマン的およびラグランジュ的枠組みを超えた古典力学の拡張を実現した。
• 外部力が高次加速度（$\dot{x}^i, \ddot{x}^i, \dots, \frac{d^k x^i}{dt^k}$）に依存する力学系に対して、古典的オイラー＝ラグランジュ方程式を拡張する一般化された運動方程式が導出された。
• ラグランジュ関数 $L(x,y)$ に関連する標準的半射影的ベクトル場 $S$ は、非線形接続 $N$ および計量的 $N$-線形接続 $D$ を定め、曲率および構造方程式の構成を可能にする。
• 速度空間 $TM$ 上にほぼカーラー型モデルが構成され、ラグランジュ空間における電磁場および重力場の研究の幾何的基盤が提供された。
• ルジャンドル変換が高次元空間へ拡張され、$L^{(k)n}$ と $H^{(k)n}$ 間の双対性が確立され、ハミルトニアン空間の $k$ 階に対するハミルトン＝ジャコビ方程式が導かれた。