[논문 리뷰] Lagrangian field theories: ind/pro-approach and L-infinity algebra of local observables

Néstor León Delgado|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 56인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 미분형 이론에 대해 인도-프로-카테고리컬 프레임워크를 개발하며, 무한 잔여다발을 프로-유한차원 다성분으로 간주하고, 미분형을 인도-형으로 간주한다. 이는 보조 장이나 게이지 고정이 필요 없이 라그랑주의 코homology에만 의존하는 국소 관측가의 $L_\infty$-대수를 구축한다. 로저스의 다중심플렉틱 $L_\infty$-대수 결과를 무한 잔여 다성분 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Field Theories in Physics can be formulated giving a local Lagrangian density. Locality is imposed using the infinite jet bundle. That bundle is viewed as a pro-finite dimensional smooth manifold and that point of view has been compared to different topological and Frechét structures on it. A category of local (insular) manifolds has been constructed. Noether's second theorem is reviewed and the notion of Lie pseudogroups is explored using these concepts. The L-infinity algebra of local observables is defined depending only on the cohomology of the Lagrangian (using a result in multisymplectic manifold which has been extended to the local category). That local pre-multisymplectic form, called the Poincaré-Cartan can be thought of as a coordinate free, cohomological version of other similar structures in the field.

연구 동기 및 목표

• 인도 및 프로-카테고리의 도입을 통해 현대적이고 카테고리컬 프레임워크를 라그랑주 미분형 이론에 제공하기 위해.
• 무한 잔여다발을 프로-유한차원 미분다양체로 형식화하고, 형식을 인도-미분형으로 정의하기 위해.
• 장 이론의 국소적이고 상대적인 구조를 포괄하는 '섬다양체'의 카테고리 정의하기 위해.
• 라그랑주의 코homology에만 의존하는 국소 관측가의 $L_\infty$-대수를 구축하기 위해.
• 로저스의 다중심플렉틱 $L_\infty$-대수 결과를 무한 잔여 및 인도/프로 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 무한 잔여다발을 잔여다발의 역극한을 이용해 프로-유한차원 미분다양체로 모델링하기 위해.
• 국소 형식을 무한 잔여다발에서의 역상으로 정의하고, 이중복합체의 구조를 형성하기 위해.
• 상대적이고 국소화된 장 구성의 다루기 위해 '섬다양체'의 카테고리를 도입하기 위해.
• 섬다양체 카테고리 내에서의 접선 구조, 벡터장 및 미분형을 개발하기 위해.
• 국소 전다중심플렉틱 구조와 관련된 해밀턴 형식을 통해 국소 관측가의 $L_\infty$-대수를 구성하기 위해.
• 차수 공통자 및 카르탕 계산법을 사용하여 인도/프로 설정에서 $L_\infty$-관계를 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 잔여다발은 어떤 카테고리적 프레임워크 내에서 프로-유한차원 다성분으로 엄밀하게 다룰 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 미분형 이론에서 국소적이고 상대적인 장 구성의 형식화에 적합한 카테고리는 무엇인가?
• RQ3 보조 장 없이 라그랑주의 코homology에서 직접적으로 국소 관측가의 $L_\infty$-대수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 카르탕 계산법과 리 도함수와 같은 표준적 구성은 인도/프로-카테고리컬 설정으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 로저스의 다중심플렉틱 형식에서 유도된 $L_\infty$-대수의 구성은 무한 잔여 및 인도/프로 설정으로 얼마나 넓게 확장되는가?

주요 결과

• 국소 관측가의 $L_\infty$-대수는 고전장이나 쌍대장의 도입 없이도 라그랑주의 코homology로부터 자연스럽게 정의된다.
• 이 구성은 로저스의 결과를 일반화한다: $L_\infty$-대수는 국소 전다중심플렉틱 형식과 관련된 해밀턴 형식에서 유도된다.
• 인도/프로 설정에서 $\mathcal{L}_X$, $\iota_X$, $\delta$, $d$의 차수 임계항 및 라이프니츠 법칙이 교환자 항등식을 통해 검증된다.
• 인도/프로 설정에서 $L_\infty$-대수의 괄호 관계는 추가적인 해소 메커니즘이 없이도 구성에 의해 반대칭성과 다중선형성을 갖는다.
• $L_\infty$-관계의 증명은 $(0,2)$-형식에서 $[[\delta,\iota_X],\iota_{X'}] = 0$을 검증하는 데 의존하며, 이는 $\delta f$ 및 $\delta X_i$ 항의 상쇄로 인해 성립한다.
• 벡터장과 리 도함수의 작용 하에 $L_\infty$-대수의 구조는 $[\mathcal{L}_X^d, \mathcal{L}_{X'}^d] = \mathcal{L}_{[X,X']}^d$의 항등식을 통해 유지된다.