[論文レビュー] Large N expansion of the 2-matrix model, multicut case

Bertrand Eynard|ArXiv.org|Jul 25, 2003

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2行列モデルにおける多カット状態（固有値の支持が複数の非連結区間に分かれている状況）において、大Nトポロジカル展開の自由エネルギーを再帰的アルゴリズムで計算するためのループ方程式に基づく手法を開発する。既存の1カット状態に関する先行研究を一般化し、任意の位数まですべての位数hの寄与F^{(h)}を体系的に計算可能にし、F^{(1)}を明示的に導出するとともに、代数幾何学およびリーマン・シータ関数を用いた高次項のフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We present a method, based on loop equations, to compute recursively, all the terms in the large $N$ topological expansion of the free energy for the 2-hermitian matrix model, in the case where the support of the density of eigenvalues is not connected. We illustrate the method by computing the free energy of a statistical physics model on a discretized torus.

研究の動機と目的

• 固有値の支持がg+1個の区間に分かれる多カット状態における2行列モデルの、大Nトポロジカル展開の再帰的計算を拡張すること。
• 従来の1カット状態に用いられたループ方程式手法を、複数のカットおよび非自明な充填分数を扱えるように一般化すること。
• F^{(0)}から出発し、F^{(1)}およびそれ以上の項へと再帰的に進むことにより、1/N²展開におけるすべての項F^{(h)}を計算するためのアルゴリズム的フレームワークを提供すること。
• 代数曲線幾何学およびシータ関数を用いて、位数1の自由エネルギーF^{(1)}の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 相関関数を関連づけ、自由エネルギー展開の再帰的関係を導出するための中心的ツールとして、ループ方程式を用いる。
• 1ループ関数および2ループ関数、ならびにループ挿入作用素を導入し、展開の再帰的構造を形式化する。
• 特にその位数とシート構造を考慮した、背後に潜む代数曲線幾何を分析し、多カット構成を扱う。
• 次に高い位数でのループ方程式の解法に、リーマン＝ヒルベルト問題の枠組みと、位数0および1におけるシータ関数を適用する。
• 次に高い位数での1ループ関数Y^{(1)}(x)の積分を用いて、F^{(1)}を導出する。これはAサイクルに沿った contour 積分を用いる。
• 正規化および一貫性を保証するため、充填分数ε_iとF^{(0)}の微分との間に、整合性条件Γ_j − ∂F^{(0)} / ∂ε_j = 0を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値の支持が複数の非連結区間からなる多カット状態において、2行列モデルの大Nトポロジカル展開を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 1カット状態と比較して、非自明な充填分数および複数のカットを扱うために、ループ方程式形式主義にどのような修正が必要か？
• RQ3 ループ方程式および代数曲線データから、位数1の自由エネルギーF^{(1)}をどのように明示的に計算できるか？
• RQ4 リーマン・シータ関数および背後に存在する代数曲線の幾何学的性質は、F^{(h)}の再帰的計算において果たす役割は何か？
• RQ5 特に複数のカットおよび非ゼロの位数が存在する状況において、展開の一貫性をどのように保証できるか？

主な発見

• 本稿では、2行列モデルの自由エネルギーの1/N²展開におけるすべての項F^{(h)}を計算する再帰的アルゴリズムを提供し、多カット構成に対して有効である。
• 従来の1カット状態に限られていた結果を拡張し、多カット状態におけるF^{(1)}を初めて明示的に計算した。
• マスターループ方程式を次に高い位数で解くことにより、Aサイクルに沿った contour 積分および代数曲線の構造を用いる。
• 充填分数ε_iとF^{(0)}の微分との整合性は、Γ_j − ∂F^{(0)} / ∂ε_j = 0 という条件によって確立され、展開の一貫性が保証される。
• 位数1の曲線に対しては、シータ関数およびワイエルシュトラスの楕円関数を用いて、1ループ関数および1/N²位での自由エネルギーを記述する。
• 本フレームワークは、[1,2]における1行列モデルの手法および[18]における2行列モデル1カット手法を一般化し、多カット領域における体系的な計算を可能にする。