[論文レビュー] LBB Stability of a Mixed Discontinuous/Continuous Galerkin Finite Element Pair

Colin J. Cotter, David A. Ham+2 more|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非構造三角形／四面体メッシュ上で波動方程式および非圧縮性流れ方程式を解くために、不連続線形速度と連続2次圧力の組み合わせであるP1_DG-P2混合有限要素ペアを導入する。この手法は、不連続ガレルキン近似による速度自由度の増加によりLBB安定性を確保し、偽のゼロエネルギーモードを排除することで、質量行列のルーミングを要せず、安定かつ高精度なシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

We introduce a new mixed discontinuous/continuous Galerkin finite element for solving the 2- and 3-dimensional wave equations and equations of incompressible flow. The element, which we refer to as P1dg-P2, uses discontinuous piecewise linear functions for velocity and continuous piecewise quadratic functions for pressure. The aim of introducing the mixed formulation is to produce a new flexible element choice for triangular and tetrahedral meshes which satisfies the LBB stability condition and hence has no spurious zero-energy modes. We illustrate this property with numerical integrations of the wave equation in two dimensions, an analysis of the resultant discrete Laplace operator in two and three dimensions, and a normal mode analysis of the semi-discrete wave equation in one dimension.

研究の動機と目的

• 非構造メッシュ上での波動方程式および非圧縮性流れ方程式の混合有限要素離散化におけるLBB安定性の問題を解決すること。
• 標準的な混合要素で収束性と精度を損なう「偽のゼロエネルギーモード」と「厄介なモード」を克服すること。
• 安定性を向上させつつ圧力の高次精度を維持する、新しい不連続／連続ガレルキンペア（P1_DG-P2）を提案すること。
• 質量行列のルーミングや構造的ステガレッドグリッドを必要としない、安定で高次精度の離散化を可能にすること。
• P1_DG-P2が地球物理的海洋モデルにおいて、地衡平衡を維持する可能性を検討すること。

提案手法

• 速度に不連続な区分線形関数（P1_DG）、圧力に連続な区分2次関数（P2）を用いる。
• 混合有限要素変分式を用いて波動方程式および非圧縮性流れ方程式の弱形式を構築する。
• 不連続ガレルキンフレームワーク内での数値フラックスおよび安定化項を用いて境界条件を実装する。
• 適切な多項式次数の選択により、LBB安定性を確保するためのインフラ条件を満たす。
• 速度のブロック対角質量行列を用いて、明示的時間積分により得られる半離散系を解く。
• 速度質量行列のスパarsityを活用し、質量行列のルーミングを回避することで、圧力勾配計算の精度を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続／連続ガレルキン有限要素ペアは、非構造三角形／四面体メッシュ上でもLBB安定性を達成できるか？
• RQ2 P1_DG-P2要素は、波動方程式のシミュレーションにおいて偽のゼロエネルギーモードと「厄介なモード」を排除できるか？
• RQ3 P1_DG-P2要素を用いた非構造2次元および3次元メッシュ上での離散ラプラシアン演算子のスペクトル挙動はいかなるものか？
• RQ4 P1_DG-P2要素は、高次圧力表現のおかげで回転流れにおいて地衡平衡を維持できるか？
• RQ5 不連続な速度が地球物理的モデルにおける運動量保存および圧力勾配誤差に与える影響は何か？

主な発見

• P1_DG-P2要素は、一次元で単調に増加する位相関係とスペクトルギャップを示す正規モード解析により、LBB安定性条件を満たしていることが確認された。
• 非構造三角形メッシュ上での2次元波動方程式の数値積分により、長時間にわたり滑らかな解が得られ、偽モードは観察されなかった。
• 2次元および3次元非構造メッシュ上での離散ラプラシアン演算子の固有値解析により、定数関数のみを含む1次元の零空間が確認され、偽モードの不在が裏付けられた。
• 速度場は要素界面でわずかな不連続性を示すが、解は滑らかでよく解像されており、安定性が確認された。
• 速度のブロック対角質量行列により、圧力ポアソン系の非ルーミングな正確な解法が可能となり、圧力勾配項の精度が向上した。
• 高次圧力表現（P2）により、P1-P1のような低次ペアに比べて地衡平衡の近似が改善され、圧力勾配誤差が低減した。