[論文レビュー] LCD codes over ${\mathbb F}_q $ are as good as linear codes for q at least four

Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、q ≥ 4 である有限体 F_q 上で、任意の線形符号がモノミアル同値なLCD符号に変換可能であることを証明している。これは、LCD符号が一般の線形符号と同等の最適パラメータを達成できることを意味する。グレブナー基底理論を用いて、生成行列に対角スケーリングを施すことで、結果として自明なハルルを有する符号が得られ、それがLCD符号であることを保証する。さらに、q が平方数で q > 4 のとき、この結果をヘルミートLCD符号へと拡張する。

ABSTRACT

The hull $H(C)$ of a linear code $C$ is defined by $H(C)=C \cap C^\perp$. A linear code with a complementary dual (LCD) is a linear code with $H(C)=\{0\}$. The dimension of the hull of a code is an invariant under permutation equivalence. For binary and ternary codes the dimension of the hull is also invariant under monomial equivalence and we show that this invariant is determined by the extended weight enumerator of the code.\\ The hull of a code is not invariant under monomial equivalence if $q\geq 4$. We show that every ${\mathbb F}_q $-linear code is monomial equivalent with an LCD code in case $q \geq 4$. The proof uses techniques from Gröbner basis theory. We conclude that if there exists an ${\mathbb F}_q $-linear code with parameters $[n,k,d]_q$ and $q \geq 4$, then there exists also a LCD code with the same parameters. Hence this holds for optimal and MDS codes. In particular there exist LCD codes that are above the Gilbert-Varshamov bound if $q$ is a square and $q\geq 49$ by the existence of such codes that are algebraic geometric.\\ Similar results are obtained with respect to Hermitian LCD codes.

研究の動機と目的

• q ≥ 4 に対して、F_q 上の任意の線形符号がモノミアル同値なLCD符号に変換可能であることを確立すること。
• q が平方数で q > 4 のとき、この結果をヘルミートLCD符号へと拡張すること。
• 最適符号またはMDS符号の存在が、同じパラメータを持つ対応するLCD符号の存在を示唆することを示すこと。
• q が平方数で q ≥ 49 のとき、代数幾何符号を用いて、LCD符号がギルバート・ヴァルシャモフ境界を超える可能性があることを示すこと。
• モノミアル同値性におけるハルル次元の不変性を明確にし、q ≥ 4 の場合、2進および3進の場合とは異なり、これが成り立たないことを示すこと。

提案手法

• 線形符号 C を生成行列 G = (I_k | B) の標準形で表現する。
• x ∈ (F_q^*)^k を用いて対角変換 D(x) を適用し、最初の k 列をスケーリングすることで、生成行列が (D(x) | B) である新たな符号 C_x を構成する。
• 多変数多項式 f(X) = det((D(X)|B)(D(X)|B)^T) = det(D(X^2) + BB^T) を定義する。これは各変数について次数 2 の多項式である。
• グレブナー基底理論と組合せ的ノルンシュタイン定理（命題 4.5 を経由）を用いて、f(X) が非ゼロであり、したがって (F_q^*)^k 内のある x で消えないことを示す。
• f(x) ≠ 0 ならば、C_x は自明なハルル H(C_x) = {0} を有する。したがって、補題 4.2 より C_x はLCD符号であることを証明する。
• ヘルミートLCD符号のため、g(X) = det((D(X)|B)(D(X^{√q})|B̄)^T) を定義する。これは各変数について次数 √q + 1 である。q > 4 かつ平方数のとき、同様の消えない性質の議論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q ≥ 4 である F_q 上の任意の線形符号が、モノミアル同値性によってLCD符号に変換可能か？
• RQ2 q ≥ 4 の場合、モノミアル同値性においてハルル次元は不変か？また、2進および3進の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 q ≥ 4 のとき、最適符号およびMDS符号がLCD符号として実現可能か？
• RQ4 q が平方数で q > 4 のとき、F_q 上のすべての線形符号に対してヘルミートLCD符号が存在するか？
• RQ5 LCD符号はギルバート・ヴァルシャモフ境界を超えることができるか？どのような条件下で可能か？

主な発見

• q ≥ 4 である F_q 上の任意の線形符号に対して、同じパラメータ [n,k,d]_q を持つモノミアル同値なLCD符号が存在する。
• この構成は、生成行列から導かれる多項式 f(X) に依存しており、組合せ的ノルンシュタイン定理により、f(X) が非ゼロであり、(F_q^*)^k 上で消えないことが保証される。
• f(x) ≠ 0 ならば、結果として得られる符号 C_x はLCD符号である。f(x) ≠ 0 を満たす x ∈ (F_q^*)^k が少なくとも1つ存在するため、このような符号の存在が証明される。
• q が平方数で q > 4 のとき、F_q 上の任意の線形符号は、次数 √q + 1 の多項式 g(X) を用いて、モノミアル同値なヘルミートLCD符号に変換可能である。
• これは、パラメータ [n,k,n−k+1]_q のMDS符号が存在するのと、同じパラメータを持つLCD MDS符号が存在することは同値であることを示唆する。
• q ≥ 49 かつ平方数のとき、代数幾何符号がギルバート・ヴァルシャモフ境界を超えるLCD符号として存在可能である。これは、そのような符号が存在することと、同値性の結果に起因する。