[論文レビュー] Left-orderable fundamental group and Dehn surgery on the knot $5_2$

Ryoto Hakamata, Masakazu Teragaito|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$5_2$結び目のDehn surgeryが、傾き$r$が区間$[0, 4]$に属する場合、基本群が左順序可能である3次元多様体を生成することを証明する。結び目の基本群に対する$SL_2(\mathbb{R})$-表現の族を構成し、それらを普遍被覆$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$に上げることで、得られる多様体の基本群が非アーベル的表現を左順序可能群へ持つことを示し、不可約性のもとで左順序可能性が導かれる。主な結果は、この結び目の同値な範囲の傾きについて、予想を裏付けるものである。

ABSTRACT

We show that the resulting manifold by $r$-surgery on the knot $5_2$, which is the two-bridge knot corresponding to the rational number 3/7, has left-orderable fundamental group if the slope $r$ satisfies $0\le r\le 4$.

研究の動機と目的

• Dehn surgeryによって得られる$5_2$結び目の3次元多様体の基本群の左順序可能性を調査すること。
• Boyler-Gordon-Watsonの予想、すなわち、不変な有理数ホモロジー球体は、その基本群が左順序可能でない場合に限り$L$-空間である、を検証すること。
• 特に、図形8結び目を越えて左順序可能性の既知の結果を拡張すること。
• $r$-手術が$5_2$に対して左順序可能基本群をもたらす傾きの完全な範囲を確立すること。
• $SL_2(\mathbb{R})$-表現と$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$への上昇を用いた、左順序可能性を検証する構成的メソッドを提供すること。

提案手法

• パラメータ$s>0$と特定の多項式方程式$\phi=0$を満たす導出変数$t$を用いて、$5_2$結び目の基本群に対する非アーベル的$SL_2(\mathbb{R})$-表現$\rho_s$の1パラメータ族を構成する。
• $\rho_s$を普遍被覆$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$への表現$\tilde{\rho}_s$に上昇させる。$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$は左順序可能であることが知られている。
• 群$G$から$\ker \Phi \cong \mathbb{Z}$へのホモorphism $h$を用いて上昇を調整し、境界部分群$\pi_1(\partial M)$が$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$内の部分群$(-1,1) \times \{0\}$に写像されるようにする。
• $r = p/q \in (0,4)$の各傾きに対して、$g(s) = r$を満たす$s$を選択することで、$\rho_s$の像において手術関係$x^p \lambda^q = 1$が成立するようにし、上昇により手術曲線が$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$内で単位元に写されるようにする。
• $\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$が左順序可能であり、得られる多様体が不可約であることを用いて、手術多様体の基本群が左順序可能であると結論づける。
• $[4,\text{定理}~1.1]$の結果を適用し、任意の不可約3次元多様体が$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$への非アーベル的表現をもつならば、その基本群は左順序可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 傾き$[0, 4]$の範囲にある$r$-手術が、$5_2$結び目に適用された場合、3次元多様体の基本群が左順序可能になるか。
• RQ2 図形8結び目に用いられた手法を、非ファイバー化された$5_2$結び目に適応して、左順序可能性を証明できるか。
• RQ3 $5_2$結び目の基本群に対する連続的な$SL_2(\mathbb{R})$-表現族が、境界部分群の像を制御可能に$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$に上昇できるか。
• RQ4 $5_2$結び目が$0 \leq r \leq 4$の範囲でBoyler-Gordon-Watsonの予想を満たすか。
• RQ5 パラメータ$s$は、普遍被覆を介した左順序可能性の検出にどのように寄与するか。

主な発見

• すべての傾き$r$について$0 \leq r \leq 4$が成立する場合、$r$-手術によって得られる$5_2$結び目の3次元多様体の基本群は左順序可能である。
• $0$-手術と$4$-手術のケースは一般結果によってカバーされる：$0$-手術は第一ベッチ数が1の素数多様体を生成し、$4$-手術はねじれ結び目において左順序可能群を生成することが知られている。
• $0 < r < 4$の場合、$s>0$をパラメータとする連続的な非アーベル的$SL_2(\mathbb{R})$-表現族$\rho_s$を構成し、$t$が$\phi=0$を満たすようにし、各$r \in (0,4)$に対して$g(s) = r$が解けることを示した。
• $\rho_s$の上昇$\tilde{\rho}$は、境界部分群が$(-1,1) \times \{0\}$に写されるように調整可能であり、これにより被覆内での手術関係が満たされる。
• 手術多様体の基本群の像は非アーベル的であり、$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$に写される。$\widetilde{SL_2(\mathbb{R})}$は左順序可能である。
• 得られる多様体が不可約であるため、$[4,\text{定理}~1.1]$の結果により、基本群は左順序可能であると結論づけられ、すべての$r \in [0,4]$について証明が完了する。