[論文レビュー] Limit theorems for some branching measure-valued processes

Bertrand Cloez|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非局所的分岐と空間的運動を伴う連続時間分岐測度値過程について、サイズバイアス化された補助過程を用いて、経験測度の長期的挙動を導出する極限定理を確立する。多くの1対1の公式を証明し、重み付き不変測度への収束を示し、分岐オーナイジューク過程や自己相似的断片化過程への応用を含む。

ABSTRACT

We consider a particle system in continuous time, discrete population, with spatial motion and nonlocal branching. The offspring's weights and their number may depend on the mother's weight. Our setting captures, for instance, the processes indexed by a Galton-Watson tree. Using a size-biased auxiliary process for the empirical measure, we determine this asymptotic behaviour. We also obtain a large population approximation as weak solution of a growth-fragmentation equation. Several examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• 空間的運動および非局所的分岐を伴う離散的・連続時間分岐粒子系の長期的漸近的挙動を分析すること。
• 状態に依存する分裂レートおよび確率的後代分布を伴うモデルに、多くの1対1の公式を拡張すること。
• 経験測度のスケーリングされたマクロスコピック近似を、成長・断片化方程式の弱解として導出すること。
• 適切な条件下で経験測度が重み付き不変分布に分布収束することを特徴づけること。
• 特に分岐オーナイジューク過程および自己相似的断片化過程を含む、特定のモデルに対する大人口極限を厳密に導出すること。

提案手法

• 経験測度を表すために、多くの1対1の公式を用いて、サイズバイアス化された補助過程を導入し、問題を1つの典型的な系統の研究に還元する。
• Feynman-Kac型表現を適用して、バイアス付きダイナミクスを有するマコフ過程を用いて経験測度の期待値を表現する。
• 基礎的な運動（拡散）および分岐機構を組み込んだ、補助過程の生成作用素を導出する。
• スケーリング極限の下で、スケーリングされた経験測度の収束を、成長・断片化PDEの弱解に示す。
• スペクトル理論を用いて生成作用素の固有要素を同定し、極限不変測度の特徴づけを可能にする。
• 自己相似的断片化および拡散の理論を用いて、分岐オーナイジューク過程などの特定モデルにおける結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態に依存する分裂レートおよび非局所的分岐を伴う分岐粒子系の経験測度は、長期的にはどのように振る舞うか？
• RQ2 個体の特徴に依存するレート関数および変動する後代分布を伴う分岐過程に、多くの1対1の公式を一般化できるか？
• RQ3 スケーリングされた経験測度のマクロスコピック極限は何か？ また、成長・断片化PDEの解とどのように関係するか？
• RQ4 経験測度が重み付き不変測度に分布収束する条件は何か？
• RQ5 結果は、分岐オーナイジューク過程や自己相似的断片化過程などの特定モデルにどのように適用されるか？

主な発見

• 分岐オーナイジューク過程において $ g > ho $（ただし $ ho = rac{1}{2} $）のとき、経験測度は確率的に、密度が $ e^{ ho x^2} $ に比例する重み付きガウス分布に収束する。
• マラトゥスパラメータ $ ho = rac{g - ho}{2} + a $ は、集団サイズ $ ext{E}[N_t] $ の指数的成長率を支配する。ここで $ ho = rac{1}{2} $ である。
• 正規化された経験測度の長期的極限は、$ \frac{\textstyle\big\backslashint_{\mathbb{R}^d} f(y) e^{ ho y^2} \pi_{\infty}(dy)}{\textstyle\big\backslashint_{\mathbb{R}^d} e^{ ho y^2} \pi_{\infty}(dy)} $ で与えられ、ここで $ \pi_{\infty} $ はガウス測度である。
• スケーリングされた経験測度のマクロスコピック近似は、補助過程の生成作用素から導かれる成長・断片化PDEの解に弱収束する。
• 自己相似的断片化で $ \nu(\text{S}) < \infty $ のとき、モデルは $ G = 0 $、$ r(x) = x^\rho \nu(\text{S}) $ と設定することで記述され、分岐機構は破壊測度 $ \nu $ を通じて定義される。
• 関数 $ V(x) = x^p $ は生成作用素 $ \mathcal{G} $ の固有関数であることが確認され、自己相似的状況におけるスケール不変解の存在が裏付けられる。