[論文レビュー] Limits of multiplicative inhomogeneous random graphs and Levy trees

Nicolas Broutin, Thomas Duquesne+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、エッジ形成を支配する頂点重みを有する非一様ランダムグラフを、レヴィ過程による符号化とギャルトン＝ウォーソン森への埋め込みを用いて研究し、成分の距離構造がランダムなコンパクトな測度付き距離空間にGromov-Hausdorff-Prokhorov収束することを証明する。主な貢献は、レヴィ型過程の裾値から極限対象を統一的かつ明示的に構成するもので、コンパクト性の明確な条件とフラクタル次元の特定が可能である。

ABSTRACT

We consider a natural model of inhomogeneous random graphs that extends the classical Erdos-Renyi graphs and shares a close connection with the multiplicative coalescence, as pointed out by Aldous . In this model, the vertices are assigned weights that govern their tendency to form edges. It is by looking at the asymptotic distributions of the masses (sum of the weights) of the connected components of these graphs that Aldous and Limic have identified the entrance boundary of the multiplicative coalescence, which is intimately related to the excursion lengths of certain Levy-type processes. We, instead, look at the metric structure of these components and prove their Gromov-Hausdorff-Prokhorov convergence to a class of random compact measured metric spaces. Our asymptotic regimes relate directly to the general convergence condition appearing in the work of Aldous and Limic. Our techniques provide a unified approach for this general critical regime, and relies upon two key ingredients: an encoding of the graph by some Levy process as well as an embedding of its connected components into Galton-Watson forests. This embedding transfers asymptotically into an embedding of the limit objects into a forest of Levy trees, which allows us to give an explicit construction of the limit objects from the excursions of the Levy-type process. As a consequence of our construction, we give a transparent and explicit condition for the compactness of the limit objects and determine their fractal dimensions. These results extend and complement several previous results that had obtained via model- or regime-specific proofs, for instance: the case of Erdos-Renyi random graphs obtained by Addario-Berry, Goldschmidt and B., the asymptotic homogeneous case as studied by Bhamidi, Sen and Wang, or the power-law case as considered by Bhamidi, Sen and van der Hofstad.

研究の動機と目的

• 頂点重みを有する非一様ランダムグラフの漸近的距離構造を理解すること。
• エッジ形成の異なるレジーム（例えば、Erdos-Renyi、パワー則、一様）における既存の成分収束結果を、単一の枠組みで統一すること。
• レヴィ型過程の裾値から極限測度付き距離空間を明示的に構成すること。
• 極限対象のコンパクト性の必要十分条件を導出すること。
• 極限となるランダムコンパクト距離空間のフラクタル次元を特定すること。

提案手法

• 成分の質量と距離構造を捉えるために、ランダムグラフをレヴィ過程で符号化すること。
• グラフの連結成分をギャルトン＝ウォーソン森に埋め込むことで、漸近的挙動を転送すること。
• 埋め込まれたグラフ成分と、レヴィ木の森の成分との間の漸近的同等性を証明すること。
• レヴィ過程の裾値理論を用いて、極限対象を裾値から明示的に構成すること。
• Gromov-Hausdorff-Prokhorov収束を用いて、コンパクト測度付き距離空間の空間における極限を確立すること。
• レヴィ過程のスケーリング性質を応用して、コンパクト性の条件を導出し、フラクタル次元を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の臨界レジーム下で、非一様ランダムグラフの連結成分の距離構造はどのように収束するか？
• RQ2 レヴィ型過程の裾値とグラフ成分の極限測度付き距離空間との間には、明示的な関係があるか？
• RQ3 極限対象がコンパクトであるための条件は何か？
• RQ4 底辺のレヴィ過程から、極限空間のフラクタル次元をどのように特定できるか？
• RQ5 Erdos-Renyi やパワー則などのレジーム固有の結果を、一様な構成により回復できる統一的フレームワークを開発できるか？

主な発見

• 非一様ランダムグラフの連結成分は、Gromov-Hausdorff-Prokhorov位相において、確率的分布としてランダムなコンパクトな測度付き距離空間に収束する。
• 極限対象は、レヴィ型過程の裾値から明示的に構成され、透明で統一的な表現が可能である。
• 極限対象のコンパクト性の必要十分条件が、レヴィ過程の性質に基づいて導出された。
• 極限空間のフラクタル次元は、レヴィ過程のスケーリング指数によって決定され、特定のレジームにおける既知の結果を一般化する。
• Erdos-Renyi、一様、パワー則の非一様ランダムグラフに関する先行研究の結果を、一貫した枠組みで回復・拡張した。
• ギャルトン＝ウォーソン森への埋め込みが、漸近的にレヴィ木の森への埋め込みに移行し、明示的な極限構成を可能にする。