[論文レビュー] Limits of permutation sequences

Carlos Hoppen, Yoshiharu Kohayakawa+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、累積分布および質量条件を満たすLebesgue可測関数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ を自然な極限対象として導入することにより、収束する置換列の極限理論を確立する。主な結果は、すべての収束する置換列がこのクラスにおいて一意な極限を有し、収束が部分置換密度の収束によって特徴付けられることである。

ABSTRACT

A permutation sequence is said to be convergent if the density of occurrences of every fixed permutation in the elements of the sequence converges. We prove that such a convergent sequence has a natural limit object, namely a Lebesgue measurable function $Z:[0,1]^2 o [0,1]$ with the additional properties that, for every fixed $x \in [0,1]$, the restriction $Z(x,\cdot)$ is a cumulative distribution function and, for every $y \in [0,1]$, the restriction $Z(\cdot,y)$ satisfies a "mass" condition. This limit process is well-behaved: every function in the class of limit objects is a limit of some permutation sequence, and two of these functions are limits of the same sequence if and only if they are equal almost everywhere. An ingredient in the proofs is a new model of random permutations, which generalizes previous models and might be interesting for its own sake.

研究の動機と目的

• 部分置換密度の極限に基づいて、置換列の収束の概念を定義すること。
• グラフ理論におけるグラフンに類似した、このような収束列の標準的極限対象を同定すること。
• 収束する置換列と特定の可測関数のクラスに属する極限関数との間の一対一対応を確立すること。
• 極限対象がほとんど everywhere で一意であり、かつすべてのこのような関数が何らかの置換列の極限として現れることを証明すること。
• 与えられた極限関数にほとんど確実に収束する新しい確率的置換モデルを構築すること。

提案手法

• すべての固定された部分置換 $ \tau $ の密度が $ n \to \infty $ の際に収束することを要請することにより、置換列 $ (\sigma_n) $ の収束を定義する。
• 極限対象 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ を、各 $ x $ に対して $ Z(x,\cdot) $ が累積分布関数であり、$ Z(\cdot,y) $ が質量条件を満たすLebesgue可測関数として導入する。
• $(X_n, Y_n)$ を $ Z $ に関連付けられた $[0,1]^2$ 値の独立同分布確率変数とし、$ \sigma_n $ を $ X_i $ の順序に基づいて $ Y_i $ の相対順序によって定義する確率的置換モデルを構築する。
• U-統計量の強大数法則を用いて、部分置換密度 $ t(\tau, \sigma_n) $ がほとんど確実に $ t(\tau, Z) $ に収束することを示す。
• $ L_\infty $ における関数 $ Z_n $ の収束と、切断ノルム $ d_\square $ での収束が同値であることを証明し、$ L_\infty $ の完備性を活用する。
• $ t $-収束および $ \square $-ノルム位相を用いて、置換列の収束とそれらの極限関数の収束が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ理論におけるグラフンに類似する、収束する置換列の自然な極限対象は何か？
• RQ2 部分置換密度の観点から、置換列の収束をどのように特徴付けられるか？
• RQ3 累積分布および質量条件を満たすすべての可測関数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ は、何らかの置換列の極限として現れるか？
• RQ4 2つの極限関数が同一の置換列の極限を表すための条件は何か？
• RQ5 与えられた極限関数 $ Z $ にほとんど確実に収束するような確率的置換モデルを構築できるか？

主な発見

• すべての収束する置換列は、一意な極限対象 $ Z $ を有する。ここで $ Z $ はLebesgue可測関数 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $ であり、各 $ x \in [0,1] $ に対して $ Z(x,\cdot) $ が累積分布関数であり、$ Z(\cdot,y) $ が質量条件を満たす。
• 極限対象 $ Z $ は、ほとんど everywhere で一意である：もし2つの列が $ Z_1 $ および $ Z_2 $ に収束するならば、$ Z_1 = Z_2 $ a.e. である。
• このクラス $ \mathcal{Z} $ に属するすべての関数 $ Z $ は、何らかの置換列の極限として現れる。
• 置換列 $ (\sigma_n) $ が $ Z $ に収束することは、関連する関数 $ Z_n = Z_{\sigma_n} $ が $ L_\infty $-ノルムで $ Z $ に収束することと同値である。
• $ Z $ に関連付けられた $[0,1]^2$ 値の独立同分布確率変数 $ (X_i, Y_i) $ を用いて定義される確率的置換モデルにより得られる列 $ (\sigma_n) $ は、ほとんど確実に $ Z $ に収束する。
• 列 $ \sigma_n $ が $ Z $ に収束することは、$ Z_n \to Z $ が $ \square $-ノルムで成り立つことと同値であり、これはすべての固定された $ \tau \in \mathcal{S} $ に対して $ t(\tau, \sigma_n) \to t(\tau, Z) $ が成り立つことと同値である。