[論文レビュー] Limits of Projective Manifolds Under Holomorphic Deformations

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2009

Geometry and complex manifolds被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、コンplex解析的ファイバーの族において、すべてのファイバーがプロジェクト型でない1つを除いては、すべてがプロジェクト型であるとき、極限ファイバーはモイシェゾンでなければならないことを証明する。特異なモーゼ・不等式とケーラー形式の弱コンパクト性を用いて、極限ファイバーに整数コhomology類に属するケーラー・カレントを構成する。これにより、既知の基準に従って、それがモイシェゾンであることが特徴づけられる。

ABSTRACT

We prove that if in a complex analytic family of compact complex manifolds all the fibres, except one, are supposed to be projective, then the remaining (limit) fibre must be Moishezon. The proof is based on the so-called singular Morse inequalities for integral cohomology classes that we obtained in a previous work. The strategy, originating in the work of J.-P. Demailly, consists in using the Aubin-Calabi-Yau theorem to construct K\ahler forms on non-limit fibres in a certain integral De Rham cohomology 2-class and in showing that this family of forms is bounded in mass in a suitable sense. By weak compactness, a subsequence of K\ahler forms converges weakly to a $(1, 1)$-current that may have wild singularities and is defined on the limit fibre. The singular Morse inequalities are then used on the limit fibre to produce a K\ahler current in the same integral cohomology class. The existence of a K\ahler current with integral cohomology class is known to characterise Moishezon manifolds.

研究の動機と目的

• ホロモーフィック族においてすべてのファイバーがプロジェクト型であるが1つを除く極限ファイバーのモイシェゾン性を確立すること。
• ホロモーフィック変形におけるプロジェクト型とモイシェゾン多様体の挙動をより深く理解すること。
• ケーラー多様体の退化の文脈において、整数コhomology類に特異なモーゼ・不等式を適用すること。
• 整数 (1,1)-コhomology類に属するケーラー・カレントの存在が、この文脈におけるモイシェゾン多様体を特徴づけることの証明。

提案手法

• アビン＝カラビ＝ヤウの定理を用いて、固定された整数ド・ラームコhomology類に属する非極限ファイバー上のケーラー形式を構成する。
• これらのケーラー形式の質量に一様なバウンディングを確立し、弱コンパクト性を保証する。
• 弱コンパクト性を適用して、極限ファイバー上の(1,1)-カレントに弱収束するケーラー形式の部分列を抽出する。ただし、特異性が激しくなる可能性がある。
• 極限カレントに特異なモーゼ・不等式を適用し、極限ファイバー上にケーラー・カレントの存在を示す。
• 既知の特徴づけに従い、整数コhomology類に属するケーラー・カレントをもつコンパクト複素多様体はモイシェゾンである。
• 解析的ファイバーの構造とコhomological制御を用いて、極限カレントが正しい整数コhomology類に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロモーフィック族の極限ファイバーは、他のすべてのファイバーがプロジェクト型である場合、モイシェゾンのままであるか？
• RQ2 特異なモーゼ・不等式は、退化状況における整数コhomology類に有効に適用可能か？
• RQ3 整数 (1,1)-コhomology類に属するケーラー・カレントの存在が、この文脈におけるコンパクト複素多様体がモイシェゾンであることを示すのに十分か？
• RQ4 ケーラー形式の弱コンパクト性は、コhomological構成において非特異ファイバーから特異極限ファイバーへどのように移行するか？
• RQ5 アビン＝カラビ＝ヤウの定理は、コhomologyを制御する非極限ファイバー上にケーラー形式を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ほとんどがプロジェクト型のファイバーを持つホロモーフィック族の極限ファイバーは、必然的にモイシェゾンである。
• 極限ファイバー上に、非極限ファイバー上のケーラー形式と同一の整数コhomology類に属するケーラー・カレントが存在する。
• 非極限ファイバー上のケーラー形式の弱極限は、極限ファイバー上の(1,1)-カレントをもたらし、質量と特異性が制御される。
• この極限カレントに特異なモーゼ・不等式を適用することで、整数コhomology類に属するケーラー・カレントの存在が示される。
• この結果は、整数 (1,1)-コhomology類に属するケーラー・カレントの存在が、この退化設定におけるモイシェゾン多様体を特徴づけることを確認する。
• この手法により、複素幾何における解析的技法を通じて、プロジェクト型幾何とモイシェゾン幾何の間の橋渡しがなされた。