[논문 리뷰] Linear and multilinear algebra on diffeological vector spaces

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 미분다양체 벡터 공간에서 선형 및 다중선형 대수의 기초 결과를 확립하며, 미분다양체 쌍대공간이 표준 벡터 공간임을 보이고, 스무스 직접합 분해라는 새로운 개념을 도입한다. 주요 기여는 최대 등방 부분공간을 통해 정의된 특성 몫이 미분동형사상에 대해 불변임을 규명한 것으로, 이는 이전에 특성 부분공간의 유일성에 관해 잘못된 주장이 있었음을 해결한다.

ABSTRACT

This paper deals with some basic constructions of linear and multilinear algebra on finite-dimensional diffeological vector spaces. We consider the diffeological dual formally checking that the assignment to each space of its dual defines a covariant functor from the category of finite-dimensional diffeological vector spaces to the category of standard (that is, carrying the usual smooth structure) vector spaces. We verify that the diffeological tensor product enjoys the typical properties of the usual tensor product, after which we focus on the so-called smooth direct sum decompositions, a phenomenon exclusive to the diffeological setting. We then consider the so-called pseudo-metrics (diffeological analogues of scalar products), and discuss the consequent decompositions of vector spaces into a smooth direct sum of the maximal isotropic subspace and a characteristic subspace; we show that such a decomposition actually depends only on the choice of the coordinate system. Furthermore, we show that, contrary to what was erroneously claimed (by me) elsewhere, a characteristic subspace is not unique and is not invariant under the diffeomorphisms of the space on itself. The maximal isotropic subspace is on the other hand an invariant of the space itself, and this fact allows to assign to each its well-defined characteristic quotient, obtaining another functor, this time a contravariant one, to the category of standard vector spaces. After discussing the diffeological analogues of isometries, we end with some remarks concerning diffeological algebras and diffeological Clifford algebras. Perhaps a larger than usual part of the paper recalls statements that already appear elsewhere, but when this is the case, we try to accompany them with new proofs and examples.

연구 동기 및 목표

• 고전적 선형 및 다중선형 대수의 구성—예를 들어 쌍대공간, 텐서곱, 동형사상—을 미분다양체 설정으로 확장한다.
• 유한차원 미분다양체 벡터 공간의 맥락에서 스무스 선형 사상과 함자들의 행동을 명확히 한다.
• 의사계량에서 특성 부분공간이 유일하고 불변임이라는 잘못된 주장에 시정하고, 올바른 불변 대상인 최대 등방 부분공간을 규명한다.
• 기저 선택과 무관하게 정의되는 대조함자로서의 특성 몫을 정의하고 연구한다.
• 미분다양체 클리포드 대수의 구조를 탐구하고, 특성 부분공간과의 관계를 분석한다.

제안 방법

• 직접적이고 간단한 추론을 통해, 유한차원 미분다양체 벡터 공간의 미분다양체 쌍대공간이 표준 벡터 공간임을 증명한다.
• 미분다양체 텐서곱이 표준 성질—결합법칙, 교환법칙, 분배법칙—을 만족함을 확립한다.
• 벡터 공간과 그 스무스 구조가 일치적으로 분해되는 스무스 직접합 분해의 개념을 도입한다.
• 미분다양체 벡터 공간에 의사계량을 정의하고, 임의의 기저에 대해 잘 정의된 왼쪽 역함수가 존재하는 자연스러운 쌍대공간으로의 쌍대성 페어링을 유도함을 보인다.
• 특성 부분공간은 기저에 따라 달라지지만, 최대 등방 부분공간은 본질적이고 잘 정의된 몫공간을 정의함을 분석한다.
• 미분다양체 벡터 공간 위의 클리포드 대수의 구조를 분석하여, 반공변 클리포드 대수가 공변 클리포드 대수에서 스무스하게 분리됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 미분다양체 벡터 공간의 미분다양체 쌍대공간은 표준 스무스 구조를 지니는가?
• RQ2 고전적 다중선형대수의 동형사상들이 미분다양체 설정에서 스무스 사상으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 미분다양체 벡터 공간의 의사계량에서 특성 부분공간은 공간 자체에 의해 유일하게 결정되는가, 아니면 기저 선택에 따라 달라지는가?
• RQ4 의사계량의 최대 등방 부분공간은 공간의 미분동형사상에 대해 여전히 불변인가?
• RQ5 미분다양체 클리포드 대수는 그 표준 대응체와 어떻게 관련되어 있으며, 스무스하게 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한차원 미분다양체 벡터 공간의 미분다양체 쌍대공간은 표준 벡터 공간이며, 이는 기초 결과를 새롭고 직접적인 증명으로 확인한 것이다.
• 미분다양체 텐서곱은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 포함한 모든 표준 대수적 성질을 만족한다.
• 의사계량의 최대 등방 부분공간은 공간 자체의 불변량이며, 기저 선택과 무관하다.
• 특성 부분공간은 유일하지 않으며, 미분동형사상에 대해 불변하지 않으며, 이는 문헌에서 이전에 잘못된 주장임을 시정한 것이다.
• 최대 등방 부분공간에 대한 몫으로 정의된 특성 몫은 잘 정의된 불변량이며, 표준 벡터 공간으로의 대조함자로 정의된다.
• 클리포드 대수 $ C\text{\textbackslash{}ell}(V,g) $ 는 스무스 직접합 분해를 가지며, 공변 클리포드 대수 $ C\text{\textbackslash{}ell}(V^{*},g^{*}) $ 는 하위대수로서 스무스하게 분리된다.