[論文レビュー] Linear differential equations on $\mathbb{P}^{1}$ and root systems

Kazuki Hiroe|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^1$ 上の不規則特異点をもつ線形微分作用素のオイラー変換と、Kac-Moody根系の表現論との間の関係を確立する。形式的解の同一の先頭項を持つものの重複度を数えるテンソルとしてのスペクトル型を定義することにより、オイラー変換の作用が、Kac-Moody根格子の商に同型な格子自己同型を誘導することを示し、ワイル群がその変換群として作用する。主な結果は、非可約作用素に対してスペクトル型が一般化された根系の根に対応することであり、これはFuchs型の場合に限らない非Fuchs型へのカツのアルゴリズムの一般化である。

ABSTRACT

In this paper, we study the Euler transform on linear ordinary differential operators on $\mathbb{P}^{1}$. The spectral type is the tuple of integers which count the multiplicities of local formal solutions with the same leading terms. We compute the changes of spectral types under the action of the Euler transform and show that the changes of spectral types generate a transformation group of a $\mathbb{Z}$-lattice which is isomorphic to a quotient lattice of a Kac-Moody root lattice with the Weyl group as the transformation group.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^1$ 上の不規則特異点をもつ線形微分作用素に対するオイラー変換の作用を理解すること。
• 形式的解の同一の先頭項を持つものの重複度を数える組み合わせ的不変量としてのスペクトル型を定義し、その分析を行うこと。
• オイラー変換によるスペクトル型の変化が、Kac-Moody根格子の商に同型な$\mathbb{Z}$-格子自己同型群を生成することを示すこと。
• スペクトル型と剛性指数を用いて、Fuchs系に対するカツのアルゴリズムを、非Fuchs型・不規則特異点をもつ場合に一般化すること。
• スペクトル型格子上に一般化された根系$\Delta^\Phi$を定義し、非可約作用素がこの系における根に対応することを証明すること。

提案手法

• 各特異点における同一の先頭項を持つ形式的解の重複度を数える整数の組としてスペクトル型を定義する。
• OshimaのWeyl代数$W(x)$上でのオイラー変換の代数的定義を用い、それがスペクトル型に与える作用を計算する。
• スペクトル型から$\mathbb{Z}$-格子$L(P)$を構成し、オイラー変換による作用を定める変換群$\tilde{W}(P)$を定義する。
• 格子$L(P)$がKac-Moody根格子$Q(P)$の商に同型であり、$\tilde{W}(P)$がワイル群として作用することを示す。
• 格子$L(P)$上に一般化された根系$\Delta^\Phi$を導入し、根写像$\Phi$の像を用いて$\Phi$-根、$\Phi$-実根、$\Phi$-虚根を定義する。
• 剛性指数$\mathrm{idx\,}\mathbf{m}$を用いてスペクトル型を分類する：$\mathrm{idx\,}\mathbf{m} = 2$ ならば$\mathbf{m} \in \Delta^\Phi_{\text{re}}$、それ以外は$\mathbf{m} \in \Delta^\Phi_{\text{im}}$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則特異点をもつ$\mathbb{P}^1$ 上の線形微分作用素のスペクトル型は、オイラー変換によってどのように変化するか？
• RQ2 スペクトル型に誘導されるオイラー変換の変換群は、格子上のワイル群作用として実現可能か？
• RQ3 非可約微分作用素のスペクトル型の背後には、一般化された根系構造が存在するか？
• RQ4 剛性指数$\mathrm{idx\,}\mathbf{m} = 2$ は、Fuchs型の場合と同様に、有限回のねじれオイラー変換によるランク1作用素への還元可能性を特徴づけるか？
• RQ5 非可約作用素のスペクトル型は、Kac-Moody格子から導かれる一般化された根系における根として特定可能か？

主な発見

• オイラー変換はスペクトル型格子$L(P)$上で$\mathbb{Z}$-格子自己同型を誘導し、その群$\tilde{W}(P)$はKac-Moody根格子の商に同型である。
• 格子$L(P)$はKac-Moody根格子$Q(P)$の商に同型であり、ワイル群$W(P)$がその変換群として作用する。
• 非可約作用素に対して、スペクトル型$\mathbf{m}$は一般化された根系$\Delta^\Phi$に属し、$\mathrm{idx\,}\mathbf{m} = 2$ ならば$\mathbf{m} \in \Delta^\Phi_{\text{re}}$、それ以外は$\mathbf{m} \in \Delta^\Phi_{\text{im}}$ である。
• 剛性指数$\mathrm{idx\,}\mathbf{m} = 2$ は、ねじれオイラー変換を有限回繰り返すことによって非可約作用素をランク1作用素に還元可能かどうかを特徴づける。
• 一般化された根系$\Delta^\Phi$は、Kac-Moody代数の古典的根系を拡張しており、$\Phi$-根は標準写像$\Phi$による根の像として定義される。
• 非可約作用素のスペクトル型$\mathbf{m}$は$\Phi$-根であり、その剛性指数により、一般化された系における実根か虚根かが決定される。