[論文レビュー] Lipschitz extension of multiple Banach-valued functions in the sense of Almgren

Jordan Goblet|ArXiv.org|Sep 21, 2006

Advanced Topology and Set Theory被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Banach空間 $Y$ への複数のバナッハ値関数が、有限ナガタ次元の条件下でリーマンスキー拡張を許容することを確立している。ラングとシュリッヒェンマイヤーの一般拡張定理を用いて、$X$ が有限ナガタ次元であり、$Y$ がバナッハ空間であるとき、$(X, \mathbf{Q}_Q(Y))$ はリーマンスキー拡張性質を有することを証明し、$Y$ が有限次元バナッハ空間である場合には $\mathbf{Q}_Q(Y)$ が絶対リーマンスキー代数的空間であることを示している。

ABSTRACT

A multiple-valued function $f:X o {\bf Q}_Q(Y)$ is essentially a rule assigning $Q$ unordered and non necessarily distinct elements of $Y$ to each element of $X$. We study the Lipschitz extension problem in this context by using two general Lipschitz extension theorems recently proved by U. Lang and T. Schlichenmaier. We prove that the pair $(X,{\bf Q}_Q(Y))$ has the Lipschitz extension property if $Y$ is a Banach space and $X$ is a metric space with a finite Nagata dimension. We also show that ${\bf Q}_{Q}(Y)$ is an absolute Lipschitz retract if $Y$ is a finite algebraic dimensional Banach space.

研究の動機と目的

• 複数値関数 $f: X \to \mathbf{Q}_Q(Y)$ のリーマンスキー拡張問題を調査すること、ここで $Y$ はバナッハ空間であり、$X$ は距離空間である。
• このような関数が $X$ の部分集合から $X$ 全体へ、制御されたリーマンスキー定数で拡張可能となる条件を特定すること。
• $Y$ が有限次元バナッハ空間である場合に $\mathbf{Q}_Q(Y)$ が絶対リーマンスキー代数的空間であることを確立すること。
• アームグレーンの意味における複数値関数の設定に、ラングとシュリッヒェンマイヤーの一般リーマンスキー拡張定理を拡張すること。

提案手法

• リーマンスキー拡張とナガタ次元およびリーマンスキー連結性の関係を示すラングとシュリッヒェンマイヤーの定理を活用すること。
• $Y$ が完備であるとき $\mathbf{Q}_Q(Y)$ が完備であることを証明すること。
• $Y$ が弱く凸な測地的空間であるとき $\mathbf{Q}_Q(Y)$ がリーマンスキー $(n-1)$-連結であることを確立すること。
• $Y$ のナガタ次元に関して $\mathbf{Q}_Q(Y)$ のナガタ次元を評価し、$\dim_N(Y) = n$ ならば $\dim_N(\mathbf{Q}_Q(Y)) \leq (n+1)^Q - 1$ を示すこと。
• 有限次元バナッハ空間はダブリングであり、したがって有限ナガタ次元を有することを用いて、$\mathbf{Q}_Q(Y)$ がこの場合にも有限ナガタ次元を有することを結論づけること。
• 完備性、リーマンスキー連結性、および有限ナガタ次元を組み合わせ、拡張定理を適用して主要な結果を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Y$ がバナッハ空間であるとき、$(X, \mathbf{Q}_Q(Y))$ がリーマンスキー拡張性質を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 $Y$ が有限次元バナッハ空間であるとき、$\mathbf{Q}_Q(Y)$ は絶対リーマンスキー代数的空間か？
• RQ3 $\mathbf{Q}_Q(Y)$ のナガタ次元は $Y$ のそれとどのように関係するか？
• RQ4 ラングとシュリッヒェンマイヤーの一般拡張定理は、アームグレーンの意味における複数値関数に適用可能か？
• RQ5 $\mathbf{Q}_Q(Y)$ 値関数のリーマンスキー拡張が、$Q$ 個の別々の $Y$-値関数の拡張とはなぜ本質的に異なるのか？

主な発見

• $X$ が有限ナガタ次元であり、$Y$ が完備で弱く凸な測地的空間（すべてのバナッハ空間を含む）であるとき、ペア $(X, \mathbf{Q}_Q(Y))$ はリーマンスキー拡張性質を有する。
• $Y$ が完備で弱く凸な測地的空間であり、有限ナガタ次元を有する場合、$\mathbf{Q}_Q(Y)$ は絶対リーマンスキー代数的空間である。特に $Y$ が有限次元バナッハ空間である場合にはこの条件を満たす。
• $\dim_N(Y) = n < \infty$ ならば、$\mathbf{Q}_Q(Y)$ のナガタ次元は上界 $(n+1)^Q - 1$ で抑えられる。
• 有限次元バナッハ空間はダブリングであり、したがって有限ナガタ次元を有するため、この場合 $\mathbf{Q}_Q(Y)$ は有限ナガタ次元を有する。
• $\mathbf{Q}_Q(Y)$ を最小マッチング距離を備えた無順序 $Q$-組の空間として構成することにより、$\mathbf{Q}_Q(Y)$ 上のリーマンスキー関数が一般に $Y$ 上の $Q$ 個のリーマンスキー分岐に分解できないことが保証され、別個の拡張理論の必要性が正当化される。
• 証明は、$Y$ が完備であるとき $\mathbf{Q}_Q(Y)$ が完備であること、および $Y$ が弱く凸な測地的空間であるとき $\mathbf{Q}_Q(Y)$ がリーマンスキー連結であることに基づいている。