[論文レビュー] Liquidation in Limit Order Books with Controlled Intensity

Erhan Bayraktar, Michael Ludkovski|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Economic theories and models参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、注文価格によって取引強度を制御する限界注文書において、スプレッドに依存する強度を持つ点過程を用いて、約定リスクをモデル化することで、最適な清算問題を定式化し、解明する。可視化解を用いた離散的状態最適制御の連続的フラッド極限への収束を確立し、べき乗則および指数減衰型注文書モデルに対して明示的解を提供するとともに、多資産・多交換所設定における漸近的近似を提示する。

ABSTRACT

We consider a framework for solving optimal liquidation problems in limit order books. In particular, order arrivals are modeled as a point process whose intensity depends on the liquidation price. We set up a stochastic control problem in which the goal is to maximize the expected revenue from liquidating the entire position held. We solve this optimal liquidation problem for power-law and exponential-decay order book models and discuss several extensions. We also consider the continuous selling (or fluid) limit when the trading units are ever smaller and the intensity is ever larger. This limit provides an analytical approximation to the value function and the optimal solution. Using techniques from viscosity solutions we show that the discrete state problem and its optimal solution converge to the corresponding quantities in the continuous selling limit uniformly on compacts.

研究の動機と目的

• 限界注文価格によって制御される注文到着タイミングに起因する約定リスクを伴う、限界注文書における大規模ポジションの最適清算をモデル化すること。
• 制御された取引強度と到着時間リスクを考慮した、清算からの期待収益を最大化する確率的制御問題を定式化すること。
• 離散的状態問題のフラッド極限を分析し、コンpact集合上で値関数および最適制御の均一収束を、可視化解の技法を用いて示すこと。
• べき乗則および指数減衰型注文書モデルにおける最適清算問題の明示的解を導出し、異なる注文サイズおよび強度を持つ多交換所設定に拡張すること。
• 大規模でまれな取引が存在する状況下で、小規模取引のための漸近的近似を、小強度パラメータにおける摂動解析を用いて提示すること。

提案手法

• 注文の約定強度が、買付価格より上にあるスプレッド $ s_t $ に依存する制御された点過程として清算をモデル化し、$ \Lambda(s_t) $ が到着レートを支配する。
• $ n $ 株の清算からの期待収益を最大化するための確率的制御フレームワークを用い、時間 $ T $ までに約定しなければ最終的に利益ゼロとなる。
• 可視化解理論を適用し、コンpact集合上で離散的状態の値関数および最適制御が、連続的フラッド極限に均一収束することを証明する。
• 値関数 $ v(x) $ のフラッド極限常微分方程式を導出し、離散的取引サイズに起因する遅延構造を有する $ \delta $ の区間で逐次貼り合わせにより解く。
• 多交換所モデルでは、小規模注文と大規模注文のそれぞれに制御強度が異なる非線形遅延常微分方程式を導出し、小 $ \lambda_1 $ における摂動を用いて解く。
• 小 $ \lambda_1 $ における漸近展開を用いて、1次補正項 $ v_1(x) $ の閉形式表現を導出し、積分因子を用いた明示的解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 限界注文書における注文価格によって制御される約定強度に、最適清算戦略はどのように依存するか？
• RQ2 離散的状態最適制御問題のフラッド極限への収束行動は何か？可視化解を用いて、これを厳密に確立できるか？
• RQ3 べき乗則および指数減衰型注文書深度モデルにおける最適清算問題の明示的解は何か？
• RQ4 異なる注文サイズおよび強度を持つ複数の交換所が存在する場合、最適清算戦略および値関数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 1つの交換所（例：ダークプール）が他の交換所と比べてはるかに低い強度を持つ場合、値関数の漸近的近似は何か？

主な発見

• 離散的状態最適清算問題のフラッド極限は、コンpact集合上で均一収束し、可視化解の技法を用いて、値関数および最適制御の両方が収束することが示された。
• べき乗則注文書モデルでは、値関数は非線形常微分方程式を満たし、$ \delta $ の区間で逐次貼り合わせにより解かれる。0付近に特異性が存在するが、これは1次近似 $ v_0(x) \propto x^{(\alpha-1)/\alpha} $ によって解消される。
• 小規模・大規模注文の両方を含む多交換所モデルの解は、1次非線形遅延常微分方程式であり、区間 $ [n\delta, (n+1)\delta] $ で繰り返し貼り合わせにより解ける。
• 小 $ \lambda_1 $ の場合、1次補正項 $ v_1(x) $ は積分因子を用いて閉形式で与えられ、$ y^{B_\alpha + \alpha - 1} $ 項の累乗および積分を含む明示的表現が得られる。
• 1次近似解 $ v_0(x) $ は1交換所モデルの結果と一致し、単純なモデルと整合性が確認された。
• 一般に値関数は凹でなく、離散的取引サイズ構造に起因して、$ \delta, 2\delta, \ldots $ の節点で微分不能となり、凹性を失う可能性がある。