[论文解读] Local and Global Phaseless Sampling in Real Spline Spaces

Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文建立了实样条空间中无相位采样所需的充要条件，实现了从幅值采样中恢复非可分函数。通过点密度与分布特征刻画了局部与全局无相位采样序列，证明此类序列可唯一确定函数（符号除外），并为有限区间与整个实直线提供了采样点数的显式界。

ABSTRACT

We study the recovery of functions in real spline spaces from unsigned sampled values. We consider two types of recovery. The one is to recover functions locally from finitely many unsigned samples. And the other is to recover functions on the whole line from infinitely many unsigned samples. In both cases, we give characterizations for a sequence of distinct points to be a phaseless sampling sequence, at which any nonseparable function is determined up to a sign on an interval or on the whole line by its unsigned sampled values. Moreover, for the case of local recovery, we also study the almost phaseless sampling and give a necessary and sufficient condition for a sequence of points to admit local recovery for almost all functions.

研究动机与目标

• 确定采样点序列在何种条件下可实现有限区间内实样条空间中非可分函数的局部恢复（仅基于幅值采样）。
• 为整个实直线上函数的全局无相位采样序列建立必要且充分的条件。
• 分析无相位采样背景下可恢复（非可分）与不可恢复（可分）函数之间的区别。
• 提供几乎无相位采样（almost phaseless sampling）的刻画，即在空间中几乎所有函数均可从强度测量中恢复。
• 比较一阶样条（m=1）与高阶样条（m≥2）在周期性采样设置下无相位采样的行为差异。

提出的方法

• 通过子区间 [N₁, N₂] 内点集的基数约束，推导出局部无相位采样的必要且充分条件，涵盖边界与内部区间。
• 利用样条函数及其在平移不变空间中线性组合的结构，分析仅从幅值样本中恢复函数的方法。
• 引入可分函数（f = f₁ + f₂，且其支集不相交）的概念，识别出无法仅从强度测量中恢复符号的函数。
• 提出一种技术，通过在重叠区间中确保足够高的采样密度，并利用样条基函数的性质，将局部采样序列扩展为全局恢复。
• 基于函数 f₁ 与 f₂ 的支集结构，对 |f₁(x)| = |f₂(x)| 在采样集 E 上成立的情况进行分类讨论，证明若满足采样条件，则此类函数必为可分函数。
• 应用框架理论与无限维空间中相位恢复的结果，推导出全局采样条件，特别针对形如 {nα + β} 的周期性序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一组互异点的序列可确保实样条空间中任意非可分函数在有限区间上，仅从其无符号采样值中唯一恢复（符号除外）？
• RQ2 在何种条件下，实样条空间中的函数可从整个实直线上无穷多个无符号采样中实现全局恢复？
• RQ3 B样条基函数的阶数 m 如何影响无相位采样序列的结构与密度要求？
• RQ4 周期序列 {nα + β} 成为 Vₘ 全局无相位采样序列的必要且充分条件是什么？
• RQ5 在何种意义上无相位采样是‘几乎’可行的？何种条件可确保有限维子空间中几乎所有函数均可从强度测量中恢复？

主要发现

• 序列 E ⊂ [N₁, N₂] 是 Vₘ|_[N₁,N₂] 的局部无相位采样序列，当且仅当其满足以下四个基数条件：(1) |E| ≥ 2(N₂−N₁+m)−1，(2) |E ∩ [N₁, N₁+k)| ≥ 2k + m − 1 对所有 1 ≤ k ≤ N₂−N₁ 成立，(3) |E ∩ (N₂−k, N₂]| ≥ 2k + m − 1 对所有 1 ≤ k ≤ N₂−N₁ 成立，(4) |E ∩ (n₁,n₂)| ≥ 2(n₂−n₁)−1 对所有 N₁ ≤ n₁ < n₂ ≤ N₂ 成立。
• 若 E 满足上述条件，且对所有 x ∈ E 有 |f₁(x)| = |f₂(x)|，则对所有 x ∈ [N₁, N₂] 必有 |f₁(x)| = |f₂(x)|，从而保证符号唯一性。
• 对于全局无相位采样，序列 {nα + β} 是 Vₘ 的无相位采样序列，当且仅当 0 < α < 1/2（当 m ≥ 2 时）。
• 当 m = 1 时，序列 {nα + β} 是无相位采样序列，当且仅当 0 < α < 1/2 或 α = 1/2 且 β = 0。
• 本文提供一个例子，表明在 [N₁, N₂] 上均匀分布的 K ≥ N₂−N₁+m+1 个采样点构成 Vₘ|_[N₁,N₂] 的几乎无相位采样序列。
• 对于局部采样，若在内部区域设置 K ≥ 2(N₂−N₁)−3 个点，并在端点附近设置 2(m+1) 个点，与内部点结合后，可实现无相位采样。