[論文レビュー] Local cohomology multiplicities in in terms of étale cohomolgy

Manuel Blickle, Raphaël Bondu|ArXiv.org|Jun 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数における局所コホモロジーの重複度 λₐ,ᵢ(A) と、ℤ/pℤ 係数をもつエタールコホモロジーとの明確な関係を確立し、これらの不変量が特異点における局所エタールコホモロジー群の次元によって与えられることを示している。主な結果は、Emerton と Kisin の正標数における Riemann–Hilbert 対応を用いて、孤立特異点に対する以前の解析的結果を、F-有理的多様体に近い性質をもつより広いクラスの特異点へ一般化したものである。

ABSTRACT

We give a description of certain local cohomology invariants (introduced by Lyubeznik) for a class of mildly singular varieties in positive characteristic. The novelty of our approuch lies in using the new Riemann-Hilbert type correspondenc of Emerton and Kisin to express these invariants in terms of 'etale cohomology with ZZ/pZZ coefficients. Thus we are able to obtain results in positive characteristic whereas earlier approaches were restricted (due to the use of de Rham theory) to the analytic case.

研究の動機と目的

• 孤立特異点を超えて、より広いクラスの特異点へ Lyubeznik の不変量 λₐ,ᵢ(A) の位相的解釈を拡張すること。
• García-López と Sabbah が孤立特異点に対して得た解析的結果の、特徴的 p の類似を提供すること。
• Emerton–Kisin の Riemann–Hilbert 対応を用いて、局所代数的不変量とエタールコホモロジーとの新たな関係を確立すること。
• 孤立特異点からの λₐ,ᵢ(A) の記述を、Y∖{x} がインターセクションホモロジー多様体であるような多様体へ一般化すること。
• 不変量 λₐ,ᵢ(A) が特定の次数以外では消えること、およびエタールコホモロジー群を用いた明示的公式を与えること。

提案手法

• 正標数における D-加群に対する Emerton と Kisin の Riemann–Hilbert 型対応を用い、de Rham 理論の代わりに Artin–Schreier 理論を導入する。
• 特徴的 0 の結果を双対性を用いない証明により再構築し、正標数への移行を可能にする。
• 対応を適用して、局所コホモロジー加群 Hⁿ⁻ⁱᴵ(R) を、ℤ/pℤ 係数をもつ Y∖{x} のエタールコホモロジーと関連付ける。
• L(Y,X) ≅ RΓ[Y](𝒪_X)[n−d] における同型を用いて、F-有理的多様体に近い特異点を特徴付ける。ここで L(Y,X) は一意な単純ユニット R[F]-部分加群である。
• Hⁿ⁻ⁱᴵ(R) = 0 であることと、Hⁱₘ(A) が F-ニルポテンシャルであることとの同値性を用い、局所コホモロジーの消える条件を加群論的性質と結びつける。
• 基底変換により一般の場合を分離的閉包の場合に還元し、不変量 λₐ,ᵢ(A) を保存することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lyubeznik の不変量 λₐ,ᵢ(A) は、正標数におけるエタールコホモロジーの観点からどのように解釈できるか？
• RQ2 どの種の特異点が、ℤ/pℤ 係数をもつエタールコホモロジー群を用いて不変量 λₐ,ᵢ(A) を記述可能か？
• RQ3 García-López と Sabbah が孤立特異点に対して得た特徴的 0 の結果は、代数的手段を用いて非孤立特異点へ一般化可能か？
• RQ4 Emerton–Kisin の Riemann–Hilbert 対応は、複素解析的代数幾何で用いられる Riemann–Hilbert 対応の特徴的 p の類似をどのように可能にするか？
• RQ5 多様体 Y に対して、局所コホモロジー重複度 λₐ,ᵢ(A) が Y∖{x} のエタールコホモロジーによって決定される、明確な代数的幾何的条件は何か？

主な発見

• 次元 d の k-多様体 Y が一点 x を除いて F-有理的であるとき、1 ≤ i ≤ d−1 に対して、不変量 λ₀,ᵢ(A) は dim_{ℤ/pℤ} Hⁱ_{{ x }}(Yét, ℤ/pℤ) に等しい。
• 2 ≤ a ≤ d−1 に対して λₐ,ₙ(A) は dim_{ℤ/pℤ} H^{d+1−a}_{{ x }}(Yét, ℤ/pℤ) に等しく、λ_{d,d}(A) = dim_{ℤ/pℤ} H¹_{{ x }}(Yét, ℤ/pℤ) + 1 である。
• その他のすべての λₐ,ᵢ(A) は消え、不変量における強い消える性質を確認した。
• 不変量 λₐ,ᵢ(A) は、底体の分離的閉包への基底変換のもとで保存され、一般の場合を分離的閉体の場合に還元可能である。
• F-有理的多様体に近い特異点のクラスは、L(Y,X) ≅ RΓ[Y](𝒪_X)[n−d] における同型により特徴づけられ、局所コホモロジーとインターセクションホモロジー加群を結びつける。
• García-López と Sabbah の複素解析的結果が、非孤立特異点へ一般化され、複素コホモロジーの代わりに正標数におけるエタールコホモロジーが用いられている。