[论文解读] Local Hamiltonians in Quantum Computation

Daniel Nagaj|ArXiv.org|Aug 15, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 109被引用 16

一句话总结

本论文研究了量子计算中的局部哈密顿量，建立了绝热量子计算与量子复杂性之间的联系。提出了一种利用矩阵乘积态与虚时演化模拟无限树系统的新方法，证明了新型量子可满足性问题的QMA-完全性，并构建了哈密顿量量子细胞自动机，仅通过单个、局部的、时间不变的哈密顿量的时间演化即可实现通用量子计算。

ABSTRACT

In this thesis, I investigate aspects of local Hamiltonians in quantum computing. First, I focus on the Adiabatic Quantum Computing model, based on evolution with a time dependent Hamiltonian. I show that to succeed using AQC, the Hamiltonian involved must have local structure, which leads to a result about eigenvalue gaps from information theory. I also improve results about simulating quantum circuits with AQC. Second, I look at classically simulating time evolution with local Hamiltonians and finding their ground state properties. I give a numerical method for finding the ground state of translationally invariant Hamiltonians on an infinite tree. This method is based on imaginary time evolution within the Matrix Product State ansatz, and uses a new method for bringing the state back to the ansatz after each imaginary time step. I then use it to investigate the phase transition in the transverse field Ising model on the Bethe lattice. Third, I focus on locally constrained quantum problems Local Hamiltonian and Quantum Satisfiability and prove several new results about their complexity. Finally, I define a Hamiltonian Quantum Cellular Automaton, a continuous-time model of computation which doesn't require control during the computation process, only preparation of product initial states. I construct two of these, showing that time evolution with a simple, local, translationally invariant and time-independent Hamiltonian can be used to simulate quantum circuits.

研究动机与目标

• 理解局部哈密顿量在绝热量子计算中的作用及其对能级间隙和计算普遍性的影响。
• 开发一种基于矩阵乘积态与虚时演化的方法，用于寻找无限树上平移不变哈密顿量的基态。
• 表征局部约束量子问题的复杂性，特别是量子k-SAT与局部哈密顿量问题，并证明新的QMA-完全性结果。
• 提出并构建哈密顿量量子细胞自动机（HQCA），实现无需外部控制的通用量子计算，仅依赖初始态制备与时间演化。

提出的方法

• 在矩阵乘积态（MPS）近似中使用虚时演化，模拟无限树上平移不变哈密顿量的基态性质。
• 引入一种新颖的程序，在每个虚时步长后将态投影回MPS流形，以保持近似结构。
• 将该方法应用于研究Bethe格上横向场伊辛模型的量子相变，分析关联长度与稳定性。
• 利用基于三态比特的时钟构造与三局部项，构建一个QMA-完全的3局部哈密顿量，以模拟量子线路。
• 设计两种类型的哈密顿量量子细胞自动机（HQCA），单元大小分别为d=10与d=20，采用平移不变、局部、时间不变的哈密顿量。
• 证明在该哈密顿量下进行时间演化可模拟通用量子线路，实现无需动态控制的计算普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅通过局部哈密顿量普遍模拟绝热量子计算，这会对能级间隙施加何种约束？
• RQ2 如何有效利用矩阵乘积态模拟无限树上平移不变哈密顿量的基态？
• RQ3 量子k-SAT问题的计算复杂性如何？能否仅用三局部项实现新的QMA-完全构造？
• RQ4 是否可以通过单个、局部的、时间不变且平移不变的哈密顿量的时间演化实现通用量子计算？
• RQ5 哈密顿量量子细胞自动机在何种条件下可无需外部控制模拟量子线路？

主要发现

• 绝热量子计算模型依赖于局部哈密顿量，由此结构可导出关于能级间隙的信息理论界限。
• 提出一种基于MPS与虚时演化的无限树系统新数值方法，可精确研究Bethe格上横向场伊辛模型的相变。
• 该方法揭示Bethe格上横向场伊辛模型的关联长度在临界点发散，表明为二级相变。
• 通过仅使用三局部项，构建了一个新的三局部QMA-完全哈密顿量（针对量子比特），优于先前的四局部构造。
• 利用三态比特时钟构造，实现了一个QMA-完全的三局部哈密顿量，证明受限项的量子k-SAT仍可实现通用性。
• 构建了两种哈密顿量量子细胞自动机（d=10与d=20），表明仅通过单一、局部的、时间不变且平移不变的哈密顿量的时间演化，即可实现通用量子计算。