[論文レビュー] Localized Morrey-Campanato Spaces on Metric Measure Spaces and Applications to Schrödinger Operators

Dachun Yang, Dongyong Yang+1 more|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、逆ダブルイング条件を要しない同型度付き測度空間上における局所化されたモレイ＝キャンパナト空間とその双対空間を導入し、それらが局所化されたハーディー空間およびBMO型空間に等価であることを確立する。特に、ユークリッド空間上でのシュレーディンガー作用素、ヘイゼンベルク群、および逆 Hölder 条件を満たすポテンシャルを持つべき群における、径方向およびポアソンの最大作用素、およびリトルウッド＝パイルのg関数の有界性を証明する。

ABSTRACT

Let ${\mathcal X}$ be a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss and ${\mathcal D}$ a collection of balls in $\cx$. The authors introduce the localized atomic Hardy space $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $p\in (0,1]$ and $q\in[1,\infty]\cap(p,\infty]$, the localized Morrey-Campanato space ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and the localized Morrey-Campanato-BLO space $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ with $\az\in{\mathbb R}$ and $p\in(0, \infty)$ and establish their basic properties including $H^{p, q}_{\mathcal D}({\mathcal X})=H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and several equivalent characterizations for ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\wz{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Especially, the authors prove that when $p\in(0,1]$, the dual space of $H^{p, \infty}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ is ${\mathcal E}^{1/p-1, 1}_{\mathcal D}({\mathcal X})$. Let $ρ$ be an admissible function modeled on the known auxiliary function determined by the Schrödinger operator. Denote the spaces ${\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_{\mathcal D}({\mathcal X})$, respectively, by ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ and $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$, when ${\mathcal D}$ is determined by $ρ$. The authors then obtain the boundedness from ${\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ to $\widetilde{\mathcal E}^{α, p}_ρ({\mathcal X})$ of the radial and the Poisson semigroup maximal functions and the Littlewood-Paley $g$-function which are defined via kernels modeled on the semigroup generated by the Schrödinger operator.

研究の動機と目的

• 測度空間の同型度付き空間上におけるモレイ＝キャンパナト理論を、逆ダブルイング条件を必要としない局所化空間へ拡張すること。
• 局所化されたハーディー空間とモレイ＝キャンパナト空間の双対性を確立し、古典的結果を局所化された設定に一般化すること。
• シュレーディンガー関連作用素（径方向最大作用素、ポアソン最大作用素、g関数）が局所化されたモレイ＝キャンパナト空間上で有界であるかを分析すること。
• ユークリッド空間、ヘイゼンベルク群、およびべき群上でのシュレーディンガー作用素および退化したシュレーディンガー作用素にこれらの結果を適用すること。
• ポテンシャル理論から導かれる適切関数を用いて、シュレーディンガー作用素に関連するBMO型空間およびハーディー空間に関する既存の結果を統一・一般化すること。

提案手法

• p ∈ (0,1]、q ∈ [1,∞] ∩ (p,∞]、α ∈ ℝ に対して、局所化された原子的ハーディー空間 $H^{p,q}_D(X)$、局所化されたモレイ＝キャンパナト空間 $E^{\alpha,p}_D(X)$、および局所化されたモレイ＝キャンパナト＝BLO空間 $\tilde{E}^{\alpha,p}_D(X)$ を定義する。
• 重要な恒等式 $H^{p,q}_D(X) = H^{p,\infty}_D(X)$ および双対空間の特徴付け $ (H^{p,\infty}_D(X))^* = E^{1/p - 1, 1}_D(X) $ を確立する（p ∈ (0,1]）。
• 逆 Hölder 班級に属するポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素の補助関数に基づいて、適切関数 $\rho$ を導入する。
• シュレーディンガー作用素 $L = -\Delta + V$ が生成する半群 $\{e^{-tL}\}$ から導かれるカーネルを用いて、径方向最大作用素 $T^+$、ポアソン最大作用素 $P^+$、およびリトルウッド＝パイルのg関数を定義する。
• 熱核推定と Calderón-Zygmund 理論を用いて、$T^+$ および $P^+$ が $E^{\alpha,p}_\rho(X)$ から $\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$ への有界性を証明する。
• p ∈ (1,∞) に対して、g関数の $L^p$-有界性を確立し、$[g(f)]^2 \in \tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho(X)$ が成り立ち、$\| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho} \leq C \|f\|^2_{E^{\alpha,p}_\rho}$ となるようにノルムを制御する。これにより、$g(f) \in \tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$ が従う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆ダブルイング条件を要しない測度空間上でのモレイ＝キャンパナト空間の局所化は、どのように実現可能か？
• RQ2 $p \in (0,1]$ に対して、局所化されたハーディー空間 $H^{p,\infty}_D(X)$ の双対空間は何か？
• RQ3 局所化されたモレイ＝キャンパナト空間 $E^{\alpha,p}_D(X)$ と局所化されたBLO空間 $\tilde{E}^{\alpha,p}_D(X)$ が同値となる条件は何か？
• RQ4 シュレーディンガー作用素に関連する局所化されたモレイ＝キャンパナト空間上での径方向およびポアソン最大作用素の有界性は、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 リトルウッド＝パイルのg関数は、これらの空間上でどのように振る舞うか？ また、その平方はスケーリングされたモレイ＝キャンパナト空間に写像可能か？

主な発見

• α > 0 かつ p ∈ [1,∞) のとき、$\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X) = E^{\alpha,p}_\rho(X) = \text{Lip}_D(\alpha; X)$ が成り立ち、局所リプシッツ空間と等価であることが示された。
• $p \in (0,1]$ に対して、$H^{p,\infty}_D(X)$ の双対空間は $E^{1/p - 1, 1}_D(X)$ である。これは、モレイ＝キャンパナト理論における古典的双対性を拡張するものである。
• ヘイゼンベルク群上では、$\alpha < \min\{1/(2n+2) - 1/(2q), 1/(3n+3) - 1/(3q)\}$ のとき、径方向最大作用素 $T^+$ およびポアソン最大作用素 $P^+$ は $E^{\alpha,p}_\rho(X)$ から $\tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$ への有界作用素である。
• f ∈ E^{\alpha,p}_\rho(X) のとき、g関数の平方は $\| [g(f)]^2 \|_{\tilde{E}^{2\alpha,p/2}_\rho} \leq C \|f\|^2_{E^{\alpha,p}_\rho}$ を満たし、C は f に依存しない。これにより、$g(f) \in \tilde{E}^{\alpha,p}_\rho(X)$ が従う。
• 同型次元 D を持つ連結かつ単連結なべき群上では、それぞれ $\alpha < 1/D - 1/(2q)$ および $\alpha < 2/(3D) - 1/(3q)$ のとき、作用素は有界である。
• α = 0 のとき、既知の $BMO_\rho(X)$ および $BLO_\rho(X)$ 上の有界性結果が一般化され、[32] の結果が特殊ケースとして回復される。