[論文レビュー] Log-Normal continuous cascades: aggregation properties and estimation. Application to financial time-series

Emmanuel Bacry, A. Kozhemyak+1 more|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、金融時系列をモデル化するのに用いられる多分岐過程である対数正規連続キャスケードの統計的推定フレームワークを、小 intermittency（$ olimits^2 \ll 1$）の近似を導入することで開発する。2つの漸近的状態を確立する：低周波数（観測ウィンドウの延長）では、すべてのパラメータの一貫した推定器が得られ、高周波数（サンプリングレートの増加）では、$ olimits^2$ のみの一貫した推定が可能であり、状態を区別する診断法を用いて推定器の信頼性を評価できる。

ABSTRACT

Log-normal continuous random cascades form a class of multifractal processes that has already been successfully used in various fields. Several statistical issues related to this model are studied. We first make a quick but extensive review of their main properties and show that most of these properties can be analytically studied. We then develop an approximation theory of these processes in the limit of small intermittency $λ^2\ll 1$, i.e., when the degree of multifractality is small. This allows us to prove that the probability distributions associated with these processes possess some very simple aggregation properties accross time scales. Such a control of the process properties at different time scales, allows us to address the problem of parameter estimation. We show that one has to distinguish two different asymptotic regimes: the first one, referred to as the ''low frequency regime'', corresponds to taking a sample whose overall size increases whereas the second one, referred to as the ''high frequency regime'', corresponds to sampling the process at an increasing sampling rate. We show that, the first regime leads to convergent estimators whereas, in the high frequency regime, the situation is much more intricate : only the intermittency coefficient $λ^2$ can be estimated using a consistent estimator. However, we show that, in practical situations, one can detect the nature of the asymptotic regime (low frequency versus high frequency) and consequently decide whether the estimations of the other parameters are reliable or not. We finally illustrate how both our results on parameter estimation and on aggregation properties, allow one to successfully use these models for modelization and prediction of financial time series.

研究の動機と目的

• 対数正規連続キャスケードモデルにおける統計的推定の課題に取り組む。このモデルは、金融データの多分岐的モデリングに広く用いられている。
• 小 intermittency近似（$\lambda^2 \ll 1$）の下で、時間スケールにわたるこれらのプロセスの集約特性を分析する。
• 2つの漸近的状態、すなわち低周波数（観測ウィンドウの延長）と高周波数（サンプリングレートの増加）を区別し、特徴づける。
• 高周波数状態における intermittency パrameter $\lambda^2$ の一貫した推定器を構築し、他のパrameter推定の信頼性を評価するための診断法を提供する。
• モデルの実用的有用性を、金融時系列の予測およびパラメータ推定に応用して示す。

提案手法

• 小 intermittency極限（$\lambda^2 \ll 1$）における対数正規連続キャスケードの解析的近似を導出する。このとき、増分は近似的に対数正規分布に従う。
• 近似を用いて、時間スケールにわたるプロセスのスケーリングおよび集約特性を検討する。
• 2つの漸近的状態を定義する：低周波数（固定されたサンプリングレート、$L$ の増加）と高周波数（固定された$L$、増加するサンプリングレート$\tau^{-1}$）。
• 対数増分の経験的モーメントを用いて、2次構造関数の一致推定器を構築する。
• 共分散分解を適用し、ガウスベクトル関数の共分散に関する技術的補題を用いて、推定誤差の分散を制御する。
• ウィークの定理およびモーメントの上限を用いて、推定誤差分散内の共分散項の漸近的挙動を制御し、低周波数状態における一貫性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小 intermittency（$\lambda^2$）が小さいとき、対数正規連続キャスケードは時間スケールにわたってどのように集約されるか？
• RQ2 低周波数状態（観測ウィンドウの延長）におけるパラメータ推定器の漸近的性質は何か？
• RQ3 高周波数状態（サンプリングレートの増加）におけるパラメータ推定器の漸近的性質は何か？
• RQ4 実際のデータにおいて、低周波数および高周波数漸近的状態を区別できるか？また、これは推定器の信頼性にどのように影響するか？
• RQ5 提案された推定フレームワークは、金融時系列のモデリングおよび予測に実際に適用可能か？

主な発見

• 低周波数状態では、対数正規連続キャスケードモデルのすべてのパラメータ（$\lambda^2$ を含む）が一貫して推定可能である。
• 高周波数状態では、$\lambda^2$ のみが一貫した推定器を持つ。他のパラメータは一貫して推定できない。
• 与えられたデータセットが低周波数または高周波数状態にあるかを特定する診断法が提案され、非 intermittency パラメータの推定器の信頼性を評価可能となる。
• 経験的2次構造関数推定器の分散は、$\mathcal{O}(\ln N / N)$ の速度で減少し、低周波数状態における一貫性を証明する。
• 近似フレームワークにより、集約特性の解析的制御が可能となり、小$\lambda^2$ の下で一貫した推定器の導出が可能となる。
• モデルおよび推定手法は金融時系列に成功裏に適用され、モデリングおよび予測における実用的有用性が示された。