[論文レビュー] Loop Schrödinger-Virasoro Lie conformal algebra

Haibo Chen, Jianzhi Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数およびその拡張版を導入し、それらの conformal 衍導および第二コホモロジー群を完全に特定する。非自明なランク1の自由 conformal 加群および Z-整級自由中間系列加群を分類し、ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数上の加群は $ V_{a,b,0,0} $ または $ V_{A,b,0,0} $ に同型であることが示され、拡張版では $ V_{a,b,0,0,d} $ または $ V_{A,b,0,0,d} $ に同型である。ここで $ a,b,d \in \mathbb{C} $ かつ $ A \in \{0,1\}^\infty $ である。これらの結果は、非平衡統計力学および量子場理論において物理的関連性を持つ新しいクラスの代数へ、既知の conformal 表現理論の構造を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two kinds of Lie conformal algebras associated with the loop Schrödinger-Virasoro Lie algebra and the extended loop Schrödinger-Virasoro Lie algebra, respectively. The conformal derivations, the second cohomology groups of these two conformal algebras are completely determined. And nontrivial free conformal modules of rank one and Z-graded free intermediate series modules over these two conformal algebras are also classified in the present paper

研究の動機と目的

• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数およびその拡張版を、$ \mathbb{C}[\partial] $-加群として定義し、指定された $ \lambda $-ブラケットを用いて定義する。
• 両方の conformal 代数の conformal 衍導および第二コホモロジー群を特定する。
• これらの代数上の非自明なランク1の自由 conformal 加群および $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群を分類する。
• 代数的関係と $ \lambda $-ブラケットの一貫性を分析することで、加群の同型類を確立する。

提案手法

• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数 $ \mathfrak{csv} $ を、$ \mathbb{C}[\partial] $-基底 $ \{L_i, M_i, Y_i\} $ 上での $ \lambda $-ブラケットにより定義し、シュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーリー代数のループ代数を拡張する。
• 生成子 $ N_i $ を追加することで、拡張されたループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ を定義し、$ [N_i{}_{\lambda}L_j] = \lambda N_{i+j} $ および $ [Y_i{}_{\lambda}N_j] = -Y_{i+j} $ を含む追加の $ \lambda $-ブラケットを導入する。
• リーホモトープ代数の公理（反対称性およびヤコビ恒等式）を用いて、加群作用における一貫性条件を導出する。
• 2つの $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群の族を構成する：$ M_i $ 上に定数作用を持つ $ V_{a,b,c} $ および $ \{0,1\} $-値列 $ A $ が $ L_i $-作用のパターンを決定する $ V_{A,b,c} $。
• $ \lambda $-ブラケット関係、特に $ [Y_i{}_{\lambda}Y_j] = (\partial + 2\lambda)M_{i+j} $ を適用して、可能な加群作用を制限し、$ c=0 $ の場合を除き $ Y_i $-作用が消えることを証明する。
• 拡張代数の $ N_i $-作用を用いて、追加パrameter $ d \in \mathbb{C} $ を持つ加群を分類し、非自明性のためには $ N_i{}_{\lambda}v_m = d v_{i+m} $ が必須であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数 $ \mathfrak{csv} $ の conformal 衍導および第二コホモロジー群は何か？
• RQ2 拡張されたループシュレーディンガー・ヴァイラソロ・リーホモトープ代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ の conformal 衍導および第二コホモロジー群は何か？
• RQ3 ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数 $ \mathfrak{csv} $ および $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上で非自明なランク1の自由 conformal 加群はどれか？
• RQ4 $ \mathfrak{csv} $ 上の $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群の同型類は何か？
• RQ5 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上の $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群の同型類は何か？

主な発見

• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数 $ \mathfrak{csv} $ および $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ の conformal 衍導および第二コホモロジー群は完全に特定され、構造的分類が完全に行われた。
• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数 $ \mathfrak{csv} $ 上のすべての非自明なランク1の自由 conformal 加群は、$ a,b \in \mathbb{C} $、$ A \in \{0,1\}^\infty $ に対して $ V_{a,b,0,0} $ または $ V_{A,b,0,0} $ に同型であり、$ Y_i $-作用は消える。
• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数 $ \mathfrak{csv} $ 上のすべての $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群は、$ V_{a,b,0,0} $ または $ V_{A,b,0,0} $ に同型であり、$ Y_i $-作用は恒等的にゼロである。
• 拡張代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上では、すべての非自明な $ \mathbb{Z} $-整級自由中間系列加群は $ V_{a,b,0,0,d} $ または $ V_{A,b,0,0,d} $ に同型であり、ここで $ d \in \mathbb{C} $ は $ N_i $-作用をパラメータ化する。
• ループシュレーディンガー・ヴァイラソロ代数 $ \mathfrak{csv} $ 上の加群における $ Y_i $-作用は、$ [Y_i{}_{\lambda}Y_j] = (\partial + 2\lambda)M_{i+j} $ および $ [M_i{}_{\lambda}Y_j] = 0 $ との一貫性から、$ c=0 $ でなければならない。
• 拡張代数 $ \tilde{\mathfrak{csv}} $ 上の加群における $ N_i $-作用は、ある $ d \in \mathbb{C} $ に対して $ N_i{}_{\lambda}v_m = d v_{i+m} $ の形であることが必然的であり、これは加群の同型類を完全に決定する。