[論文レビュー] Lossless convexification of non-convex optimal control problems with disjoint semi-continuous inputs

Danylo Malyuta, Michael Szmuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、入力ノルムがゼロまたは有界区間内である分離された半連続入力を有する混合整数最適制御問題に対する損失なし凸化手法を提示する。非凸問題を凸な二次錐計画（SOCP）に緩和することで、多項式時間でグローバル最適解を保証でき、宇宙船のドッキング例では混合整数プログラミングに比べて計算時間がほぼ3桁短くなる。

ABSTRACT

This paper presents a convex optimization-based method for finding the globally optimal solutions of a class of mixed-integer non-convex optimal control problems. We consider problems that are non-convex in the input norm, which is a semi-continuous variable that can be zero or lower- and upper-bounded. Using lossless convexification, the non-convex problem is relaxed to a convex problem whose optimal solution is proved to be optimal almost everywhere for the original problem. The relaxed problem can be solved using second-order cone programming, which is a subclass of convex optimization for which there exist numerically reliable solvers with convergence guarantees and polynomial time complexity. This is the first lossless convexification result for mixed-integer optimization problems. An example of spacecraft docking with a rotating space station corroborates the effectiveness of the approach and features a computation time almost three orders of magnitude shorter than a mixed-integer programming formulation.

研究の動機と目的

• 混合整数非凸最適制御問題の計算非効率性に対処する。これらはNP困難であり、リアルタイム応用には実行不可能なほど遅い。
• 複数の非同時活性化入力を有する問題や半連続ノルムを有する問題において、混合整数プログラミング（MICP）の限界を克服する。
• 分枝限定法や反復的局所ソルバを必要とせず、グローバル最適性を保証する凸最適化に基づく手法を開発する。
• 多項式時間収束を保証することで、自律システム（宇宙船やロケットなど）のオンボード最適化をリアルタイムで可能にする。
• 単一入力・非凸問題に限定された損失なし凸化を、入力活性化制約が不連続な多入力・混合整数設定に拡張する。

提案手法

• 入力ノルムを二値変数を用いた制約 $ az \leq x \leq bz $ で表現し、$ z \in \{0,1\} $ により入力のオン/オフ動作をモデル化する。
• スラック変数を導入することで、非凸混合整数問題を凸な二次錐計画（SOCP）に緩和し、最適性条件を保持する。
• 必要最適性条件を用いて、緩和された凸問題の最適解が、元の非凸問題においてほとんど至る所でグローバル最適であることを証明する。
• 入力ゲインの構造とプライマー・ベクトルダイナミクスを活用することで、解が元の非凸制約を満たすことを保証する。
• ユーグリッド射影と錐型包の解析を用いて、実行可能入力集合を特徴付け、ゲインの大きさに基づいた入力活性化ルールを強制する。
• ECOS などの SOCP ソルバを用いて実装し、多項式時間の複雑度を達成することで、高速収束とリアルタイム実行可能性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 損失なし凸化は、半連続入力ノルムを有する多入力最適制御問題に拡張可能か？
• RQ2 混合整数非凸最適制御問題の凸緩和は、元の問題のグローバル最適性を保つのか？
• RQ3 提案手法は、そうでなければNP困難な問題に対し、多項式時間の解法複雑度を達成できるか？
• RQ4 実用的な航空宇宙制御問題において、混合整数プログラミングと比較して、解法時間と最適性の両面でどのように性能を発揮するか？
• RQ5 半連続制約下での最適入力方策の構造は何か？ また、それを解析的に特徴づけられるか？

主な発見

• 提案手法は、混合整数非凸最適制御問題の特定のクラスを多項式時間でグローバル最適に解くことができ、この問題クラスが実質的にPに属することを示した。
• 回転する宇宙ステーションを有する宇宙船のドッキング問題において、SOCPを用いて20秒でグローバル最適解を達成したのに対し、混合整数プログラミングでは6200秒を要した。
• 最適入力ノルムはバン・バン構造を示し、常にゲインが最大の入力のみが活性化されていることが確認され、理論的予測と一致した。
• スイッチングエッジにおける推力大きさの離散化アーチファクトが観察されたが、これらは「ほとんど至る所」での最適性保証と整合的であり、グローバル最適性に影響しない。
• 入力集合の不連続性や非重複する指向方向に対しても、本手法はロバストであることが、複数の thrusters を有する宇宙船ドッキング例で示された。
• 解は入力境界と状態ダイナミクスのすべての制約を満たしており、双対変数の履歴から最適な入力活性化パターンが確認された。