[論文レビュー] Low dimensional Singular Riemannian Foliations in spheres

Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、次元が3以下の葉を持つ球面上のすべての特異リーマン分岐（SRF）が、等長群作用から生じるホモジニアスであることを証明している。証明は特異葉の層構造を分析し、ホロノミー・ジャコビ場やA^*テンソルの構造といった幾何学的・位相的技法を用いて、低次元における非ホモジニアス例が排除されることを示す。

ABSTRACT

Singular Riemannian Foliations are particular types of foliations on Riemannian manifolds, in which leaves locally stay at a constant distance from each other. Singular Riemannian Foliations in round spheres play a special role, since they provide "infinitesimal information" about general Singular Riemannian Foliations. In this paper we show that Singular Riemannian Foliations in spheres, of dimension at most 3, are orbits of an isometric group action.

研究の動機と目的

• 次元が3以下の葉を持つ球面上の特異リーマン分岐（SRF）を分類すること。
• このようなSRFが必然的にホモジニアスである、すなわち等長群作用から生じるかどうかを特定すること。
• 球面上の低次元SRFにおける特異層の幾何学的・位相的構造を理解すること。
• 正則リーマン分岐の分類を低次元における特異ケースに拡張すること。
• 特に1次元、2次元、3次元の葉に対して、非ホモジニアスSRFが低次元球面上に存在するかどうかを解明すること。

提案手法

• 球面上のSRFにおける特異葉が誘導する層構造を分析し、1余次元特異層の集合\Sigma_1に焦点を当てる。
• 水平測地線に沿ったA^*テンソルおよびホロノミー・ジャコビ場を用いて、葉およびその正規空間の幾何を研究する。
• 水平空間\mathcal{H}_p = H \oplus (\mathcal{H}_p \cap T_p S_1)の分解を適用し、問題をより低い次元の部分球面に還元する。
• A^*テンソルが完全測地的部分多様体S_1の水平空間を保存することを用い、より単純な場合への再帰的還元を可能にする。
• S^3から1次元多様体へのリーマン被覆がないことの事実を用いて、分類のケースVにおける特定の構成を除外する。
• スライス表現の類似およびs表現の理論を用い、非可約極的分岐がホモジニアスであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が1、2、または3の葉を持つ球面上の特異リーマン分岐が、すべてホモジニアスであるかどうか？
• RQ2 A^*テンソルのランクが1である場合に、低次元SRFに非ホモジニアス例が存在しうるか？
• RQ3 特異層\Sigma_1が低次元SRFの球面上のグローバル構造を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ4 正則葉上でホロノミーが自明な水平測地線が存在することは、リーマン被覆の存在を意味するか？そしてこれは分岐にどのような制約を課えるか？
• RQ5 部分球面S_1におけるA^*テンソルの構造を用いて、既知のホモジニアス例への帰納的還元が可能か？

主な発見

• 次元が3以下の葉を持つ球面上のすべての特異リーマン分岐はホモジニアスであり、すなわち等長群作用から生じる。
• 分類における唯一の非自明なケースは\Sigma_1が空でなくかつ連結である場合であるが、これはS^3からS^1へのリーマン被覆が存在しないことによる矛盾を引き起こす。
• 分岐のA^*テンソルは、任意の完全測地的部分多様体上の水平空間を保存するため、より低い次元のケースへの帰納的還元が可能である。
• \Sigma_1がk > 0個の成分を持つ場合、直交する球面S_1上の分岐も同様の分類ケースに属し、\Sigma_1 = \emptysetとなるまで再帰的に還元可能である。
• \Sigma_1 = \emptysetの場合、唯一の可能な分岐はS^5上のSO(3)作用であり、これはホモジニアスでS^3軌道を持つ。
• S^3の葉から1次元の葉へのグローバル被覆を定義しようとする際に生じる矛盾は、低次元設定において非ホモジニアス例が存在しえないことを確認する。