[論文レビュー] m-dendriform algebras

Jean-Christophe Novelli|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Fuss-Catalan組合せ論のための、$m$-dendriform代数を導入する。これは、語のシフトシャッフル積を分割する $m+1$ 個の作用を用いた、dendriform代数の一般化である。自由 $m$-dendriform代数の次元生成系列は $\frac{1}{(1-x)^{m+1}}$ であることが証明され、双対な $m$-Dias代数は Koszul 操作であり、$m$-dendriform および $m$-Dias 操作は互いに双対的かつ Koszul であることが示された。

ABSTRACT

The Fuss-Catalan numbers are a generalization of the Catalan numbers. They enumerate a large class of objects and in particular m-Dyck paths and m+1-ary trees. Recently, F. Bergeron defined an analogue for generic m of the Tamari order on classical Dyck words. The author and J.-Y. Thibon showed that the combinatorial Hopf algebras related to these m-Tamari orders are defined thanks to the same monoid, the sylvester monoid, as in the m=1 case and that all related Hopf algebras also have m analogues. We present here the m-generalization of another construction on Catalan sets: the dendriform algebras. These algebras are presented in two different ways: first by relations between the m+1 operations, relations that are very similar to the classical relations; and then by explicit operations splitting the classical dendriform operations defined on words into new operations. We then investigate their dual and show they are Koszul.

研究の動機と目的

• Fuss-Catalan 組合せ論のための $m$-dendriform代数に、dendriform構造を一般化すること。
• 語に $m+1$ 個の作用を定義し、それが Sylvester 系を保存し、1つの生成子からすべての系を生成できることを示すこと。
• 得られた $m$-dendriform代数が、$(m+1)$ 進木の生成系列と一致する次元を持つことの証明。
• 双対 $m$-Dias代数を構成し、$m$-dendriform および $m$-Dias 操作が互いに双対的かつ Koszul であることを証明すること。

提案手法

• 古典的 dendriform 関係に類似した関係を満たす $m+1$ 個の作用により、$m$-dendriform代数を定義する。
• 語における右から左の最小値を用いて、シフトシャッフル積を $m+1$ 部分に分割することで、明示的な $m$-dendriform代数を構成する。
• 木のパターンにおける書き換え系を用いて、すべての $m$-dendriform代数が適切に定義され、かつ有限次元であることを示す。
• 成分生成系列に関する再帰的式を用いて、自由 $m$-dendriform代数の生成系列 $U = \frac{1}{(1-x)^{m+1}}$ を証明する。
• モノイダル関係を用いて双対 $m$-Dias代数を定義し、木のパターンにおける書き換え系の収束性と非循環性を証明する。
• 書き換えグラフの収束性と非循環性を用いて、$m$-Dias操作が Koszul であることを示し、二次的表現および Koszul 双対性理論により、$m$-dendriform および $m$-Dias 操作が互いに双対的であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dendriform代数は、$m$-Dyckパスおよび $(m+1)$ 進木の組合せ論を捉える $m$-dendriform代数に一般化可能か？
• RQ2 語に定義された $m+1$ 個の作用は、Sylvester 系を保存し、1つの生成子からすべての系を生成可能か？
• RQ3 自由 $m$-dendriform代数の生成系列は何か？ そして、Fuss-Catalan 数と一致するか？
• RQ4 自由 $m$-dendriform代数の双対代数は Koszul か？ また、$m$-dendriform および $m$-Dias 操作間に双対性があるか？
• RQ5 木のパターンにおける書き換え系により、$m$-dendriform代数の構造を完全に特徴付けられるか？

主な発見

• 自由 $m$-dendriform代数の生成系列は $U = \frac{1}{(1-x)^{m+1}}$ であり、これは $(m+1)$ 進木の生成関数と一致する。
• $m$-dendriform代数は、語における右から左の最小値を用いて、シフトシャッフル積を $m+1$ 個の作用に分割することで構成される。
• 双対 $m$-Dias代数はモノイダル関係により定義され、生成系列 $h(-x) = \frac{-x}{(1+x)^{m+1}}$ を持ち、これは $m$-dendriform系列の合成における逆関数である。
• $m$-dendriform および $m$-Dias 操作は、ともに Koszul であり、互いに双対的であることが、木のパターンにおける書き換え系の収束性と非循環性によって確認された。
• $m$-dendriform代数の書き換え系は収束的かつ非循環的であり、これにより、すべての代数的要素が、有効なパターンのみを含む一意な正規形木に同値であることが保証される。
• $m$-Dias操作は二次的かつ収束的であり、既知の結果により、$m$-dendriform および $m$-Dias 操作が Koszul 双対であることが示された。