[論文レビュー] M-Tensors and Nonsingular M-Tensors

Weiyang Ding, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、高次テンソル理論におけるMテンソルおよび非特異的Mテンソルの同値な特徴付けを確立し、Zテンソルが非特異的Mテンソルであるための必要十分条件として、半正であることを証明している。偶数次モノトーンZテンソルを導入し、それが偶数次非特異的Mテンソルの真部分集合であることを示し、行列の性質をテンソルへと拡張するとともに、同値関係における根本的な相違点を特定している。

ABSTRACT

The M-matrix is an important concept in matrix theory, and has many applications. Recently, this concept has been extended to higher order tensors [18]. In this paper, we establish some important properties of M-tensors and nonsingular M-tensors. An M-tensor is a Z-tensor. We show that a Z-tensor is a nonsingular M-tensor if and only if it is semi-positive. Thus, a nonsingular M-tensor has all positive diagonal entries; and an M-tensor, regarding as the limitation of a series of nonsingular M-tensors, has all nonnegative diagonal entries. We introduce even-order monotone tensors and present their spectral properties. In matrix theory, a Z-matrix is a nonsingular M-matrix if and only if it is monotone. This is no longer true in the case of higher order tensors. We show that an even-order monotone Z-tensor is an even-order nonsingular M-tensor but not vice versa. An example of an even-order nontrivial monotone Z-tensor is also given.

研究の動機と目的

• M行列の概念を高次テンソルへと拡張し、非特異的Mテンソルの同値な定義を確立すること。
• 行列レベルでの同値関係（特に半正性とモノトーン性）がテンソル設定でも成立するかを調査すること。
• Zテンソル、Mテンソル、およびそれらの非特異的バージョンの間の関係、特に偶数次の場合の関係を明確にすること。
• 偶数次モノトーンZテンソルを導入し、そのスペクトル的性質を分析すること。
• 比較テンソルを用いてMテンソル枠組みをHテンソルへと拡張し、非特異的Hテンソルの同値条件を確立すること。

提案手法

• Mテンソルを、対角成分が非負で、すべての固有値の実部が正であるZテンソルとして定義し、M行列を一般化する。
• Zテンソルが非特異的Mテンソルであるための必要十分条件として、半正であること、すなわちx > 0が存在してAx^{m-1} > 0を満たすことであることを証明する。
• すべてのxに対してAx^{m-1} ≥ 0 ⇒ x ≥ 0を満たす偶数次モノトーンZテンソルを定義し、それが非特異的Mテンソルの真部分集合であることを示す。
• 非特異的Mテンソルでない非自明な偶数次モノトーンZテンソルの例を構成し、包含関係が真であることを示す。
• 比較テンソルを用いてHテンソルを定義し、テンソルが非特異的Hテンソルであるための必要十分条件として、準厳密対角優勢性であることを証明する。
• 非特異的Hテンソルに対して複数の同値条件を確立し、特に正の対角スケーリング下での厳密対角優勢性や、正の対角テンソルから非負テンソルを引いた分解におけるスペクトル条件を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列の場合と同様に、テンソル設定でも半正性と非特異的Mテンソルが同値であるか？
• RQ2 高次テンソルにおいて、モノトーン性が非特異的Mテンソルを意味するか？その逆は成り立つか？
• RQ3 偶数次モノトーンZテンソルのスペクトル的性質は何か？非特異的Mテンソルとはどのように関係するか？
• RQ4 Mテンソル枠組みをHテンソルへと拡張可能か？非特異的Hテンソルの同値条件は何か？
• RQ5 行列における非特異的Mテンソルの同値定義が、高次テンソルへとどのように一般化されるか？

主な発見

• Zテンソルが非特異的Mテンソルであるための必要十分条件として、半正であること、すなわちx > 0が存在してAx^{m-1} > 0を満たすことである。これはテンソル設定における根本的な同値性を確立する。
• 非特異的Mテンソルのすべての対角成分は正であり、一般のMテンソルのすべての対角成分は非負である。
• 偶数次モノトーンZテンソルは、偶数次非特異的Mテンソルの真部分集合である。これは、モノトーン性が非特異的Mテンソルを意味しないことを示している。
• 非特異的Mテンソルでない非自明な偶数次モノトーンZテンソルの例を構成し、包含関係が真であることを示した。
• テンソルが非特異的Hテンソルであるための必要十分条件として、準厳密対角優勢性（正の重みが存在し、スケーリング下で対角優勢性が成り立つこと）である。
• 非特異的Hテンソルに対して、正の対角スケーリング下での厳密対角優勢性や、正の対角テンソルから非負テンソルを引いた分解におけるスペクトル条件を含む、複数の同値条件を確立した。