[論文レビュー] Manifestations the hidden symmetry of Coulomb problem in the relativistic quantum mechanics - from Pauli to Dirac electron

Tamari T. Khachidze, Anzor Khelashvili|ArXiv.org|Jul 27, 2005

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、パウリの定理をディラック方程式の枠組みに一般化し、相対論的クーロン問題における隠れた対称性の生成子としてジョンソン＝リップマン作用素を導出し、これが相対論的ラプラス＝ランゲ＝レンツベクトルの一般化と一致することを示している。また、この作用素がウィッテン超代数における役割を果たし、水素様原子における偶然の degeneracy とランブシフトの不在を説明している。

ABSTRACT

The theorem known from Pauli equation about operators that anticommute with Dirac's $K$-operator is generalized to the Dirac equation. By means of this theorem the operator is constructed which governs the hidden symmetry in relativistic Coulomb problem (Dirac equation). It is proved that this operator coincides with the familiar Johnson-Lippmann one and is intimately connected to the famous Laplace-Runge-Lenz (LRL) vector. Our derivation is very simple and informative. It does not require a longtime and tedious calculations, as is offten underlined in most papers.

研究の動機と目的

• K と反交換する作用素に関するパウリの定理をディラック方程式の枠組みに一般化すること。
• 相対論的クーロン問題における隠れた対称性を生成する作用素を特定すること。
• ジョンソン＝リップマン作用素と相対論的ラプラス＝ランゲ＝レンツベクトルとの関係を確立すること。
• この対称性がウィッテン超代数をどのように導き、スペクトルの縮退を説明するかを示すこと。
• この対称性のおかげでラムシフトが存在しない理由を明確にすること。

提案手法

• ディラック行列と K 演算子の性質を用いて、パウリの定理をディラック系に一般化する。
• ベクトル作用素 V が満たすべき条件 l×V + V×l = 2iV および l·V = 0 を用いて、Σ·V と K の反交換関係 {K, Σ·V} = 0 を導出する。
• K と反交換する作用素 A₂ を形式 x₁(Σ·r̂) + ix₂K(Σ·p) + ix₃Kγ⁵f(r) で仮定し、[A₂, H] = 0 を満たすようにする。
• f(r) についての微分方程式を、行列成分の対角部と非対角部に分離して解く。
• f(r) = -1/(mr) を得て、整合性条件から係数を決定し、A₂ = Σ·r̂ - i/(ma)KΣ·p + i/(m)Kγ⁵/r を得る。
• 最終的な作用素を α 行列と γ⁵ を用いて表現し、既知のジョンソン＝リップマン形式を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリの定理における K と反交換する作用素は、どのようにディラック方程式に一般化できるか？
• RQ2 相対論的クーロン問題における隠れた対称性を生成する作用素は何か？
• RQ3 ジョンソン＝リップマン作用素は相対論的ラプラス＝ランゲ＝レンツベクトルとどのように関係するか？
• RQ4 この対称性はどのようにウィッテン超代数と関係し、スペクトルの縮退を説明するか？
• RQ5 ラムシフトの導入がこの対称性および関連する超対称性を破壊する理由は何か？

主な発見

• 一般化された定理により、l×V + V×l = 2iV および l·V = 0 を満たす任意のベクトル V に対して {K, Σ·V} = 0 が成り立つことが示された。
• 導出された作用素 A₂ = Σ·r̂ - i/(ma)KΣ·p + i/(m)Kγ⁵/r はディラックハミルトニアン H と可換である。
• この作用素はジョンソン＝リップマン作用素と等価であり、相対論的隠れた対称性におけるその役割が確認された。
• この作用素は非相対論的極限において LRL ベクトルのスピンへの射影に簡約される。
• ウィッテン超代数は Q₁ = A および Q₂ = iAK/k を用いて実現され、{Q₁, Q₂} = 0 かつ Q₁² = Q₂² = A² を満たす。
• エネルギー準位は A² = 1 + (K/a)²(H²/m² - 1) を用いた代数的導出により得られ、微分方程式を解かずに縮退が確認された。