[論文レビュー] Manin Triples for Lie Bialgebroids

Zhangju Liu, Alan Weinstein+1 more|ArXiv.org|Aug 28, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、リー代数からリー代数群へとドリンフェルトの二重構成を一般化することで、リー代数群に対するマニン三重対の概念を導入する。この論文は、双対なベクトル束のペアに於けるリー代数群構造と、コルント・代数群内のディラック構造との間の一対一対応を確立し、リー代数群の文脈へとマニン三重対の理論を拡張し、双ハミルトニアン構造およびポアソン群系列の一般化のための新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

In his study of Dirac structures, a notion which includes both Poisson structures and closed 2-forms, T. Courant introduced a bracket on the direct sum of vector fields and 1-forms. This bracket does not satisfy the Jacobi identity except on certain subspaces. In this paper we systematize the properties of this bracket in the definition of a Courant algebroid. This structure on a vector bundle $E ightarrow M$, consists of an antisymmetric bracket on the sections of $E$ whose ``Jacobi anomaly'' has an explicit expression in terms of a bundle map $E ightarrow TM$ and a field of symmetric bilinear forms on $E$. When $M$ is a point, the definition reduces to that of a Lie algebra carrying an invariant nondegenerate symmetric bilinear form. For any Lie bialgebroid $(A,A^{*})$ over $M$ (a notion defined by Mackenzie and Xu), there is a natural Courant algebroid structure on $A\oplus A^{*}$ which is the Drinfel'd double of a Lie bialgebra when $M$ is a point. Conversely, if $A$ and $A^*$ are complementary isotropic subbundles of a Courant algebroid $E$, closed under the bracket (such a bundle, with dimension half that of $E$, is called a Dirac structure), there is a natural Lie bialgebroid structure on $(A,A^{*})$ whose double is isomorphic to $E$. The theory of Manin triples is thereby extended from Lie algebras to Lie algebroids. Our work gives a new approach to bihamiltonian structures and a new way of combining two Poisson structures to obtain a third one. We also take some tentative steps toward generalizing Drinfel'd's theory of Poisson homogeneous spaces from groups to groupoids.

研究の動機と目的

• リー代数からリー代数群へのマニン三重対の理論を一般化すること。
• リー代数群とコルント代数群内のディラック構造との間の対応を確立すること。
• 双ハミルトニアン構造およびポアソン群系列作用を理解するための幾何的枠組みを提供すること。
• ドリンフェルトのポアソン同調空間の理論を群から群系列へと拡張すること。
• リー代数群とその双対の直和上の括弧構造を形式化し、カウレンの括弧を一般化すること。

提案手法

• ベクトル束 E を多様体 M 上に持ち、セクションへの括弧、バンドル写像 E → TM、対称双線形形式を備えたベクトル束としてコルント代数群を定義する。
• コルント代数群内のディラック構造として、ラグランジュ的で、同調的で、インボリューション的である部分束を導入する。
• リー代数群 (A, A*) のドリンフェルト二重を、自然なコルント代数群構造を備えた直和 A ⊕ A* として構成する。
• A ⊕ A* 上の括弧が、アングラとペアリングによって定まる補正項までを除いてジャコビ恒等式を満たすことを示す。
• コルント代数群 E 内の任意のディラック構造が、その同調的補完部分束にリー代数群構造を誘導することを証明する。
• 括弧とペアリングの整合性を用いて、古典的マニン三重対構成をリー代数群の文脈に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数における古典的マニン三重対理論をどのようにリー代数群へと拡張できるか？
• RQ2 リー代数群 (A, A*) に対応する A ⊕ A* 上の構造は何か？
• RQ3 コルント代数群内のディラック構造がリー代数群構造を誘導する条件は何か？
• RQ4 A ⊕ A* 上のコルント括弧は、リー代数群のドリンフェルト二重の括弧をどのように一般化するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、群から群系列へのポアソン同調空間の理論を一般化できるか？

主な発見

• リー代数群 (A, A*) の直和 A ⊕ A* は、リー代数群のドリンフェルト二重を一般化する自然なコルント代数群構造を備える。
• コルント代数群 E 内のディラック構造は、E の同調的かつ補完的である部分束のペアに於けるリー代数群構造と同値である。
• A ⊕ A* 上の括弧は、アングラ写像と対称ペアリングを用いて表される補正項までを除いてジャコビ恒等式を満たす。
• M が点であるとき、この構成は不変かつ非退化な対称双線形形式を持つリー代数の古典的マニン三重対に還元される。
• この枠組みにより、コルント代数群を通じて二つのポアソン構造を組み合わせることで、双ハミルトニアン構造を構成する新たな方法が得られる。
• この理論により、ドリンフェルトの枠組みを拡張し、リー群からリー群系列へのポアソン同調空間の一般化が可能になる。