[논문 리뷰] Many-Body Localization: Concepts and Simple Models

Robert Sims, Günter Stolz|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 02.

Quantum many-body systems참고 문헌 51인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다체 문제를 효과적인 단체 입자 해밀토니안으로 환원함으로써, 불순물이 있는 XY 스핀 체인과 상호작용하는 조화 진동자 시스템이라는 두 가지 정확히 해를 구할 수 있는 모델에서 다체 국소화를 엄밀하게 확립한다. 제로-속도 리브-로빈슨 경계, 지배 상태 및 열 상태 상관관계의 지수적 감쇠, 그리고 엔트로피의 면적 법칙을 모두 시스템 크기와 무관하게, 임의의 불순물 강도에 대해 증명함으로써, 균일한 스펙트럼 갭이 없더라도 불순물에 의해 유도된 국소화가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

We review recent results on many-body localization for two explicitly analyzable models of many-body quantum systems, the XY spin chain in transversal magnetic field as well as interacting systems of harmonic quantum oscillators. In both models the presence of disorder leads to dynamical localization in the form of zero-velocity Lieb-Robinson bounds and to exponential decay of ground state correlations. Moreover, for oscillator systems one can also show exponential decay of thermal states as well as an area law bound for the entanglement entropy of ground and thermal states. The key fact which allows a rigorous analysis of these models is that they are given by many-body Hamiltonians which can be reduced to effective single particle Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 불순물이 존재하는 유한하지만 일관되게 제어 가능한 시스템에서 다체 국소화를 엄밀히 확립하기 위해.
• 균일한 스펙트럼 갭이 없더라도 상호작용하는 시스템에서 국소화가 유지됨을 보여주기 위해, 불순물에 의해 유도된 이동성 갭에 의존하기 위해.
• 핵심 국소화 서명—제로-속도 정보 전파, 지수적 상관관계 감쇠, 면적 법칙—이 입자 수에 대해 일관되게 성립함을 보여주기 위해.
• 환원 가능성이 있는 다체 동역학을 갖는 정확히 해를 구할 수 있는 모델을 분석함으로써 더 복잡한 다체 시스템을 연구하기 위한 기초 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 정확한 대각화 기법을 통해 다체 해밀토니안을 효과적인 단체 입자 연산자로 환원하기.
• 제로-속도 리브-로빈슨 경계를 사용하여 동역학적 국소화를 증명함으로써, 유한한 속도를 초월해 정보가 전파되지 않음을 보임.
• 이중 엔트로피에 대한 상한으로서 로그 음성도를 적용하여 면적 법칙을 도출하기.
• 불순물 하에서 효과적인 단체 입자 해밀토니안의 스펙트럼 성질을 사용하여 상관관계의 지수적 감쇠를 증명하기.
• 지배 상태 및 열 상태에 대해, $ \|h_L^{-1/2}\| $와 같은 리솔베ント 유형의 항을 포함하는 로그 음성도에 대한 결정론적 경계를 유도하기.
• 온도가 양수일 때 면적 법칙 결과를 확장하기 위해 함수 $ \phi(t) = t^{-1/2} \tanh(\beta t^{1/2}) $ 를 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불순물이 있는 상호작용하는 다체 시스템에 대해 제로-속도 리브-로빈슨 경계를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ2 균일한 스펙트럼 갭이 없더라도 불순물이 있는 온도계 시스템에서 지배 상태 및 열 상태의 상관관계가 지수적으로 감쇠하는가?
• RQ3 이동성 갭이 존재하는 불순물이 있는 다체 시스템에서 엔트로피의 면적 법칙을 증명할 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안이 갭이 없더라도 불순물 시스템에서 국소화 효과가 열역학적 극한에서 얼마나 유지되는가?
• RQ5 지배 상태 및 열 상태의 엔트로피가 시스템 크기와 무관하게 부분계의 경계 크기로 유계가 되는가?

주요 결과

• 불순물이 있는 XY 스핀 체인과 온도계 시스템에 대해 제로-속도 리브-로빈슨 경계가 증명되었으며, 이는 정보 전파가 없이 동역학적 국소화가 존재함을 나타낸다.
• 가정 A 하에, 열역학적 극한에서 갭이 없는 경우에도 불순물이 있는 온도계 모델에서 지배 상태 상관관계의 지수적 감쇠가 확립되었다.
• 지배 상태에 대해 불순물이 있는 온도계 시스템에서 엔트로피의 면적 법칙이 증명되었으며, $ \mathbb{E}[S(\mathcal{P}_L^1)] \leq C' |\partial\Gamma| $ 로 표현되며, 시스템 크기와 무관하게 성립한다.
• 동일한 면적 법칙이 임의의 양수 온도의 열 상태에서도 성립하며, $ \mathbb{E}[\mathcal{N}(\mathcal{P}_{L,\beta})] \leq C' |\partial\Gamma| $ 로 표현되며, 수정된 리솔베ント 함수 $ \phi(t) $ 를 사용한다.
• 로그 음성도는 엔트로피의 엄밀한 상한으로서 작용하여, 무한 차원 힐베르트 공간에서 추적-클래스 연산자 노름의 사용을 가능하게 한다.
• 결과는 임의의 차원과 임의의 불순물 강도에 대해 성립하므로, 불순물이 있는 다체 시스템에서 국소화 메커니즘이 매우 강건함을 보여준다.