[논문 리뷰] Many-body topological invariants in fermionic symmetry protected topological phases

Ken Shiozaki, Hassan Shapourian외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Topological Materials and Phenomena인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공간 하위영역 D에서 부분 점군 변환을 사용하여 Fermion 대칭 보호 상태(SPT) 위상에 대한 다체(topological) 불변량을 도입한다. 이들 변환의 기본 상태 기댓값이 양자화된 위상 θ와 척도에 독립적인 진폭 기여 γ를 가지며, 이 θ는 (1+1)D, (2+1)D, (3+1)D 시스템에서 점군 대칭에 의해 보호되는 비자명한 위상들을 탐지하는 위상수학적 불변량으로 기능한다.

ABSTRACT

We propose the definitions of many-body topological invariants to detect symmetry-protected topological phases protected by point group symmetry, using partial point group transformations on a given short-range entangled quantum ground state. Partial point group transformations $g_D$ are defined by point group transformations restricted to a spatial subregion $D$, which is closed under the point group transformations and sufficiently larger than the bulk correlation length $\xi$. By analytical and numerical calculations,we find that the ground state expectation value of the partial point group transformations behaves generically as $\langle GS | g_D | GS angle \sim \exp \Big[ i heta+ \gamma - \alpha \frac{{ m Area}(\partial D)}{\xi^{d-1}} \Big]$. Here, ${ m Area}(\partial D)$ is the area of the boundary of the subregion $D$, and $\alpha$ is a dimensionless constant. The complex phase of the expectation value $ heta$ is quantized and serves as the topological invariant, and $\gamma$ is a scale-independent topological contribution to the amplitude. The examples we consider include the $\mathbb{Z}_8$ and $\mathbb{Z}_{16}$ invariants of topological superconductors protected by inversion symmetry in $(1+1)$ and $(3+1)$ dimensions, respectively, and the lens space topological invariants in $(2+1)$-dimensional fermionic topological phases. Connections to topological quantum field theories and cobordism classification of symmetry-protected topological phases are discussed.

연구 동기 및 목표

• 점군 대칭에 의해 보호되는 Fermion 대칭 보호 상태(SPT) 위상에 대해 새로운 다체 위상 불변량을 정의하는 것.
• 공간 하위영역 D에 국한된 부분 점군 변환을 사용하여 비자명한 SPT 순서를 탐지할 수 있는 프레임워크를 수립하는 것.
• 부분 대칭 연산의 기댓값에서 나타나는 양자화된 위상 θ와 척도에 독립적인 진폭 기여 γ를 위상 불변량으로 식별하는 것.
• 제안된 불변량을 위상적 양자장이론과 SPT 위상의 코보르드 분류와 연결하는 것.

제안 방법

• 점군 작용에 대해 닫혀 있고 상관 길이 ξ보다 큰 공간 하위영역 D에 제한된 부분 점군 변환 g_D를 정의한다.
• 기본 상태 기댓값 ⟨GS|g_D|GS⟩를 계산하고, D의 경계 면적에 대한 점점 가까운 행동을 분석한다.
• 함수적 형태 ⟨GS|g_D|GS⟩ ∼ exp[iθ + γ - α·Area(∂D)/ξ^{d−1}]를 유도하며, 여기서 θ는 위상 불변량이고 γ는 척도에 독립적인 진폭 기여이다.
• 해석적 및 수치적 방법을 사용하여 θ의 양자화와 γ의 보편성을 다양한 SPT 위상에서 검증한다.
• 특정 모델에 이 형식을 적용하여, (1+1)D 및 (3+1)D 위상 초전도체에서의 Z_8 및 Z_16 불변량과 (2+1)D Fermion 위상에서의 렌즈 공간 불변량을 규명한다.
• 이 불변량들이 위상적 양자장이론과 SPT 위상의 코보르드 분류와 어떻게 연결되는지 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점군 대칭에 의해 보호되는 Fermion SPT 위상에 대해 다체 위상 불변량을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 하위영역 D의 기하학에 따라 부분 점군 변환의 기댓값이 어떻게 의존하는가?
• RQ3 기댓값 ⟨GS|g_D|GS⟩에서 나타나는 위상 θ는 양자화되어 있으며 국소적 외란에 대해 안정적인가?
• RQ4 진폭 기여 γ는 시스템 크기와 상관 길이에 독립적인가?
• RQ5 이들 불변량은 코보르드 분류 및 위상적 양자장이론과 같은 기존 분류와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 부분 점군 변환의 기본 상태 기댓값 ⟨GS|g_D|GS⟩는 양자화된 위상 θ와 척도에 독립적인 진폭 기여 γ를 포함하는 보편적인 형태를 띤다.
• 위상 θ는 양자화되어 있으며, 비자명한 SPT 위상과 자명한 위상 간을 구별하는 위상수학적 불변량으로 기능한다.
• 진폭 기여 γ는 시스템 크기와 상관 길이에 영향을 받지 않으며, 강력한 위상 기여를 나타낸다.
• 이 형식은 관성 대칭에 의해 보호되는 (1+1)D 및 (3+1)D 위상 초전도체에서 Z_8 및 Z_16 불변량을 성공적으로 탐지한다.
• 동일한 프레임워크를 통해 (2+1)D Fermion 위상에서의 렌즈 공간 불변량을 식별할 수 있다.
• 결과는 위상적 양자장이론과 SPT 위상의 코보르드 분류에 대한 예측과 일치하며, 이들의 다체 실현을 제공한다.