[論文レビュー] Mapping classes associated to mixed-sign Coxeter graphs

Eriko Hironaka|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、高 genus の曲面上に豊かな対称性を持つ周期的写像類を構成するため、古典的コックスター系の一般化として符号が混合したコックスター図を導入する。これらの図を境界成分を除いて閉じることで、正規化された拡大率が既知で最小の蓄積点 γ₀⁴ ≈ 6.8541 に収束する、擬似アノソフ写像類の系列が得られ、この値が達成可能であることを示し、双曲的リンクのファイバリング面理論とモノドロミーを用いて、小さな拡大率を持つ擬似アノソフ写像の構成的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We define a generalization of Coxeter graphs and an associated Coxeter system and Coxeter mapping class. These can be used to construct periodic Coxeter mapping classes on surfaces with arbitrarily large genus, preserving lots of symmetries. The periodic mapping classes can in turn be used to construct sequences of pseudo-Anosov mapping classes with bounded normalized dilatation and arbitrarily high genus. We show that the smallest known accumulation point of normalized dilatations can be realized by such a sequence.

研究の動機と目的

• 一般化されたコックスター図を用いて、高 genus の曲面上で最大の対称性を持つ周期的写像類を構成すること。
• 正規化された拡大率が有界な擬似アノソフ写像類の系列を構成的に生成する方法を提供すること。
• 正規化された拡大率の既知で最小の蓄積点 γ₀⁴ ≈ 6.8541 を、このような系列の極限として実現すること。
• 特定の双曲的リンクのモノドロミーと、符号が混合したコックスター図から生じる写像類を結びつけること。
• 偶数 genus の曲面上での可換的擬似アノソフ写像の最小拡大率が、この構成によって達成されることを示すこと。

提案手法

• 古典的コックスター図を正負の辺符号を併せ持つ符号が混合したコックスター図へ一般化する。
• 図から導かれるファットグラフ構造上で反射群の作用によりコックスター写像類を定義する。
• すべての境界成分を除き3つを除いて曲面を閉じることで、グラフパラメータに比例して線形に増加する genus のコンパクト曲面を得る。
• 得られた写像類を、特に 6₂²リンク補集合のモノドロミーと関連付ける。
• ファイバリング面理論とサーフェスのトーラスノルムを用いて、ホモロジー錐内での拡大率の漸近的挙動を分析する。
• リンク補集合のテイコフリーやアレクサンダー多項式を用いて、ホモロジー的および幾何学的拡大率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号が混合したコックスター図を用いて、任意に高い genus の曲面上で高対称性を持つ周期的写像類を構成できるか？
• RQ2 このような図から導かれる擬似アノソフ写像類の系列における正規化された拡大率の漸近的挙動は何か？
• RQ3 正規化された拡大率の既知で最小の蓄積点 γ₀⁴ ≈ 6.8541 は、このような系列の極限として実現可能か？
• RQ4 偶数 genus の曲面上での最小拡大率を持つ可換的擬似アノソフ写像類は、この方法で構成可能か？
• RQ5 6₂²リンクおよびそのデーン充填のモノドロミーと、構成された曲面上の写像類の関係は何か？

主な発見

• 構成された擬似アノソフ写像類 (Sk, φk) の正規化された拡大率は、k → ∞ のとき γ₀⁴ ≈ 6.8541 に収束する。
• 曲面 Sk の genus は 3k − 1 であり、k に比例して線形に増加する。
• k が偶数の場合、写像類 (Sk, φk) は可換的であり、偶数 genus の閉曲面上での可換的擬似アノソフ写像の予想最小拡大率を達成する。
• 写像類 (S₂, φ₂) は genus g = 5 の場合の最小拡大率を実現する。
• 幾何学的およびホモロジー的拡大率は、それぞれ |x⁶ᵏ − x²ᵏ⁺¹ − x³ᵏ − x³ᵏ⁻¹ + 1| および |x⁶ᵏ − x³ᵏ⁺¹ + x³ᵏ − x³ᵏ⁻¹ + 1| として明示的に計算される。
• limₖ→∞ λ(φₖ)³ᵏ = (3 + √5)/2 ≈ 2.61803 が確認され、1個の穴あきトーラスにおける既知の最小正規化拡大率への収束が示された。