[論文レビュー] Marcinkiewicz spaces, Garsia-Rodemich spaces and the scale of John-Nirenberg self improving inequalities

Mario Milman|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、1次元から $n$-次元へのガリア・ロデミッチの Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ 空間の特徴付けを拡張し、ジョン＝ニレングェルの自己改善不等式の新しい証明を提供する。$L(p,\infty)$ および $L(\infty,\infty)$ の新しい分布関数による特徴付けを導入し、それらをテンソル積に応用することで、O'Neil よりもかつての $L(\infty,\infty)$-値テンソル積に関する研究を補完する。

ABSTRACT

We extend to n-dimensions a characterization of the Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ spaces first obtained by Garsia-Rodemich in the one dimensional case. This leads to a new proof of the John-Nirenberg self-improving inequalities. We also show a related result that provides a still a new characterization of the $L(p,\infty)$ spaces in terms of distribution functions, reflects the self-improving inequalities directly, and also characterizes $L(\infty,\infty),$ the rearrangement invariant hull of $BMO.$ We show an application to the study of tensor products with $L(\infty,\infty)$ spaces, which complements the classical work of O'Neil \cite{oneil} and the more recent work of Astashkin \cite{astashkin}.

研究の動機と目的

• 1次元のガリア・ロデミッチによる Marcinkiewicz $L(p,\infty)$ 空間の特徴付けを $n$-次元立方体へ拡張すること。
• この拡張された特徴付けを用いて、ジョン＝ニレングェルの自己改善不等式の新しい証明を提供すること。
• ジョン＝ニレングェルの不等式の自己改善性を直接反映する、$L(p,\infty)$ および $L(\infty,\infty)$ の新しい分布関数に基づく特徴付けを導入すること。
• 新しい特徴付けを $L(\infty,\infty)$-値テンソル積の研究に応用し、古典的および最近の結果を補完すること。

提案手法

• 部分立方体における二重積分条件と $L^{p'}$-ノルムを含むsummability制約を用いて、$n$-次元のガリア・ロデミッチ空間 $GaRo_p(Q_0)$ を定義する。
• 1次元の場合に $GaRo_p(I) = L(p,\infty)(I)$ を証明し、新たな再配分不等式を用いて $n$-次元に拡張する。
• 条件 $\int_t^\infty \lambda_f(s)ds \leq C t^{1-p}$ を用いて定義される新しいノルム $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$ を導入し、それが標準的なマルチンキーイッチノルムと同値であることを示す。
• $p=\infty$ の場合に、$\|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} = \sup_t \left( \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \right)^{1-1/p} \cdot t^{1/p}$ という条件を用いて $L(\infty,\infty)$ の新しい特徴付けを確立し、分布関数と結びつける。
• 新しいノルムの定式化を用いて、$L(\infty,\infty)(\Omega_1) \otimes L^\infty(\Omega_2) \subset L(\infty,\infty)(\Omega_1 \times \Omega_2)$ が成り立ち、ノルムが制御可能であることを証明する。
• トンネリの定理と既知のテンソル積の分布関数の公式を活用し、埋め込みとノルム推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のガリア・ロデミッチによる $L(p,\infty)$ 特徴付けを、次元定数を含まずに $n$-次元立方体に拡張できるか？
• RQ2 新しい分布関数に基づくノルム $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$ は、$L(p,\infty)$ 空間の自己改善性を直接的に反映する特徴付けを提供するか？
• RQ3 $L(\infty,\infty)$ 空間は、$BMO$ の再配分不変包ととしての役割を反映する分布関数条件によって特徴付けられるか？
• RQ4 新しいノルムと特徴付けは、$L(\infty,\infty)$ を含むテンソル積の理解をどのように向上させるか？
• RQ5 $n$-次元のガリア・ロデミッチ不等式を証明する手法を、高次元における基本的な再配分不等式の証明に適応できるか？

主な発見

• 論文は、$GaRo_p(f, Q_0) \leq \frac{p}{p-1}2 \|f\|_{L(p,\infty)(Q_0)}^*$ を確立し、$n$-次元におけるガリア・ロデミッチ空間とマルチンキーイッチ空間の間の定量的関係を示した。
• 1<p<\infty に対して $JN_p(Q_0) \subsetneq GaRo_p(Q_0)$ を証明し、ガリア・ロデミッチ空間がジョン＝ニレングェル空間よりも厳密に大きいことを示した。
• 新しいノルム $\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#}$ を導入し、それが標準的なマルチンキーイッチノルムと同値であることを示した。$\|f\|_{L(p,\infty)}^{\#\#} \approx \inf\{C^{1/p} : \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \leq C t^{1-p}\}$ が成り立つ。
• $L(\infty,\infty)$ は、$p \to \infty$ の極限において $\|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} = \sup_t \left( \int_t^\infty \lambda_f(s)ds \right)^{1-1/p} \cdot t^{1/p}$ という条件によって特徴付けられ、分布関数と直接結びついた。
• 論文は、$L(\infty,\infty)(\Omega_1) \otimes L^\infty(\Omega_2) \subset L(\infty,\infty)(\Omega_1 \times \Omega_2)$ を証明し、$\|f \otimes g\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} \leq \|f\|_{L(\infty,\infty)}^{\#\#} \|g\|_{L^\infty}$ を得た。これは O'Neil の古典的結果を拡張する。
• 新しい特徴付けにより、分布関数推定を用いたジョン＝ニレングェル不等式の直接的証明が可能となり、$BMO$ の自己改善性に関する新たな視点が得られた。