[論文レビュー] Markov traces on affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Maria Chlouveraki, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Ariki–KoikeおよびYokonuma–Hecke代数の一般化として、アフィンおよび巡回的Yokonuma–Hecke代数を導入し、線形基底を構成し、マーカフトレースを定義して、立体トーラス内のフレーム付きおよび古典的リンクの不変量を生成する。主な貢献は、巡回的Yokonuma–Hecke代数におけるパラメータがすべてゼロのマーカフトレースに対するシュール要素の決定である。

ABSTRACT

In this article, we define and study the affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras. These algebras generalise at the same time the Ariki-Koike and affine Hecke algebras and the Yokonuma-Hecke algebras. We study the representation theory of these algebras and construct several bases for them. We then show how we can define Markov traces on them, which we in turn use to construct invariants for framed and classical knots in the solid torus. Finally, we study the Markov trace with zero parameters on the cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras and determine the Schur elements with respect to that trace.

研究の動機と目的

• アフィンおよび巡回的Yokonuma–Hecke代数を、Ariki–KoikeおよびYokonuma–Hecke代数を統合的に一般化する形で定義し、それらを研究すること。
• 組合せ的および帰納的メソッドを用いて、巡回的Yokonuma–Hecke代数の表現理論を発展させること。
• ${\rm Y}(d,m,n)$ における線形基底を構成し、マーカフトレースの存在を確立すること。
• マーカフトレースを用いて、立体トーラス内のフレーム付きおよび古典的リンクの不変量を構成すること。
• 巡回的Yokonuma–Hecke代数においてすべてのパラメータがゼロのとき、マーカフトレースに対するシュール要素を決定すること。

提案手法

• アフィンおよび巡回的Yokonuma–Hecke代数 ${\rm Y}(d,m,n)$ を、ワイヤード積の群代数の商として定義し、Ariki–KoikeおよびYokonuma–Hecke代数を一般化する。
• ${\rm Y}(d,m,n)$ に対して、$m$-テーブルックスや対称群作用といった組合せ的構造を用いて、明示的な線形基底を構成する。
• マーカフトレースを、巡回的Hecke代数部分からのトレースの拡張と、イデムポテンの分解を用いて定義する。
• マーカフトレースを用いて、立体トーラス内のフレーム付きリンクの不変量を定義する。これには、バイト代表元に対応する代数的要素を関連付ける。
• 同型写像 $\Phi_a$ を適用してイデムポテンを分解し、部分代数への再帰的分解を用いてトレース値を計算する。
• 再帰的トレース公式を適用し、部分代数における原始的イデムポテンの構造を用いて、ゼロパラメータのマーカフトレースに対するシュール要素を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンおよび巡回的Yokonuma–Hecke代数は、どのようにしてAriki–KoikeおよびYokonuma–Hecke代数の統合的一般化として定義できるか？
• RQ2 巡回的Yokonuma–Hecke代数 ${\rm Y}(d,m,n)$ の線形基底および表現理論は何か？
• RQ3 ${\rm Y}(d,m,n)$ 上に一貫してマーカフトレースを定義する方法は何か？ その性質は何か？
• RQ4 マーカフトレースは、立体トーラス内のフレーム付きおよび古典的リンクの不変量をどのように得るか？
• RQ5 巡回的ケースにおいてすべてのパラメータがゼロに設定されたとき、マーカフトレースに関連するシュール要素は何か？

主な発見

• ${\rm Y}(d,m,n)$ は、Ariki–Koike代数 ${\rm H}(m,n)$ およびYokonuma–Hecke代数 ${\rm Y}(d,n)$ を一般化する。特に ${\rm Y}(1,m,n) \cong {\rm H}(m,n)$ かつ ${\rm Y}(d,1,n) \cong {\rm Y}(d,n)$ である。
• ${\rm Y}(d,m,n)$ の線形基底は、$m$-テーブルックスと対称群作用を用いて構成され、Ariki–KoikeおよびYokonuma–Hecke代数の既知の基底を一般化する。
• マーカフトレースは再帰的分解とイデムポテンのトレースを用いて定義され、立体トーラス内のフレーム付きリンクの不変量の構成を可能にする。
• パラメータがすべてゼロのマーカフトレースに対するシュール要素は、$\boldsymbol{\tau}(E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(1)} \cdots E_{\mathcal{T}}^{(d)}) = \frac{1}{d^n s_{\boldsymbol{\lambda}[1]} s_{\boldsymbol{\lambda}[2]} \cdots s_{\boldsymbol{\lambda}[d]}}$ で与えられる。ここで $s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}$ は部分代数のシュール要素である。
• 第 $a$ ブロックにおける原始的イデムポテン $E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(a)}$ のトレース値は $\frac{1}{s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}}$ であり、これが再帰的に全トレースを計算するために用いられる。
• この方法は、$\Phi_a$ を用いて代数を部分代数に分解し、$E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} x_a$ の展開における単位元の係数を用いてトレースを計算することに依存する。