[論文レビュー] Matrices of 3iet preserving morphisms

Petr Ambrož, Zuzana Masáková+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2007

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3区間交換変換（3iet）語を保存する自己写像の接続行列の特徴を明らかにする。特に、最大部分語複雑度（2n+1）を維持するものに焦点を当てる。このようにして、行列 $ \mathbf{M}\mathbf{E}\mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ を満たすことが示され、ここで $ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}$ である。また、行列式が $\pm 1$ であれば非退化3iet語が保存され、行列式が 0 であれば退化が生じることを示す。結果として、カットアンドプロジェクション集合のダイナミクスを用いて、古典的なシュトラウス語の自己写像行列特徴付けを3iet設定に拡張する。

ABSTRACT

We study matrices of morphisms preserving the family of words coding 3-interval exchange transformations. It is well known that matrices of morphisms preserving sturmian words (i.e. words coding 2-interval exchange transformations with the maximal possible factor complexity) form the monoid $\{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{2 imes 2} | \det\boldsymbol{M}=\pm1\} = \{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{2 imes 2} | \boldsymbol{M}\boldsymbol{E}\boldsymbol{M}^T = \pm\boldsymbol{E}\}$, where $\boldsymbol{E} = (\begin{smallmatrix}0&1 -1&0\end{smallmatrix})$. We prove that in case of exchange of three intervals, the matrices preserving words coding these transformations and having the maximal possible subword complexity belong to the monoid $\{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{3 imes 3} | \boldsymbol{M}\boldsymbol{E}\boldsymbol{M}^T = \pm\boldsymbol{E},\ \det\boldsymbol{M}=\pm 1\}$, where $\boldsymbol{E} = \Big(\begin{smallmatrix}0&1&1 -1&0&1 -1&-1&0\end{smallmatrix}\Big)$.

研究の動機と目的

• 3区間交換変換（3iet）語を保存する自己写像の接続行列を特徴付けること、特に最大部分語複雑度を持つものに焦点を当てる。
• 行列式が $\pm 1$ であるという既知のシュトラウス語自己写像行列特徴付けを3iet設定に拡張すること。
• 接続行列の行列式と3iet語の像が非退化であるか否かの関係を明確にすること。
• 代数的数論の道具を用いて、3iet語の符号化とカットアンドプロジェクション集合との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者らは、自己写像 $\varphi$ の接続行列 $\mathbf{M}_\varphi$ を、像語における文字の出現回数を数える行列として定義する。
• 既知のシュトラウス語自己写像行列の特徴付け（行列式 $\det \mathbf{M} = \pm 1$）と、行列 $\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$ を用いたシンプレクティック条件 $\mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ を用いる。
• 3iet語に対して、$3\times 3$ 行列 $\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}$ を用いた新しいシンプレクティック条件を導出し、3ietを保存する自己写像が $\mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ を満たすことを示す。
• カットアンドプロジェクション集合理論を用い、代数的数体と環 $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ を用いて、自己写像のダイナミクスと幾何的射影との関係を分析する。
• $\mathbb{Z}[\varepsilon]$-加群の性質と、$\lambda = 1+2\varepsilon$ による乗法による双対写像を用いて、集合上の変換と自己写像作用との関係を結ぶ。
• カットアンドプロジェクション集合における区間上での点数の差が有界であることという重要な主張を用い、像における出現回数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大部分語複雑度を持つ3iet語を保存する自己写像の接続行列は、どのように特徴付けられるか？
• RQ2 行列条件 $\mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ は、シュトラウス語の場合から3iet語へどのように一般化されるか？
• RQ3 接続行列の行列式は、3iet語の像が非退化のままであるかを決定づける役割を果たすか？
• RQ4 カットアンドプロジェクション集合理論を用いて、3iet語自己写像のダイナミクスをどのように分析できるか？

主な発見

• 3ietを保存する自己写像の接続行列は、$\mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ を満たす。ここで $\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}$ である。
• 接続行列の行列式が $\pm 1$ であれば、その自己写像は非退化3iet語（部分語複雑度 $2n+1$）を保存する。
• 接続行列の行列式が 0 であれば、任意の3iet語が退化した像（部分語複雑度 $2n+1$ 未満）に写される。
• 証明は、3iet語とカットアンドプロジェクション集合との関係に依拠しており、特に環 $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ 内での $\lambda = 1+2\varepsilon$ の乗法を用いる。
• 射影された区間における語の出現回数は、区間のシフトにかかわらず、有界な定数の範囲内で変動する。これにより、自己写像の像における出現回数の安定性が保証される。
• 結果として、古典的なシュトラウス語自己写像行列特徴付けが3ietの場合に一般化され、$\mathbb{N}^{3\times 3}$ 上に新たなシンプレクティック的構造が確立された。