[論文レビュー] One-dimensional Substitution Tilings with an Interval Projection Structure

Edmund Harriss, Jeroen S. W. Lamb|ArXiv.org|Jan 9, 2006

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、区間射影構造を有する1次元の置換タイルの幾何的特徴付けを提供し、すべてのこのようなタイルが同値でない置換規則を可算無限個もつことを示している。置換規則と区間移動変換（IET）のRauzy-Veech再スケーリングの直接的な関係を確立し、スuspensionデータの精錬が置換規則を誘導することを示している。特に、負の収縮係数を有する場合、フィボナッチタイルでは非局所的規則が生じる。

ABSTRACT

We study nonperiodic tilings of the line obtained by a projection method with an interval projection structure. We obtain a geometric characterisation of all interval projection tilings that admit substitution rules and describe the set of substitution rules for each such a tiling. We show that each substitution tiling admits a countably infinite number of nonequivalent substitution rules. We also provide a complete description of all tilings of the line and half line with an interval projection structure that are fixed by a substitution rule. Finally, we discuss how our results relate to renormalization properties of interval exchange transformations (with two or three intervals).

研究の動機と目的

• 区間射影構造を有する1次元タイルのうち、どのタイルが置換規則をもつのかを特徴付けること。
• 各タイルに対して、置換規則の完全な集合を記述すること。
• 直線および半直線のタイルのうち、置換規則によって不変となるもの（固定されるもの）を特定すること。
• 2または3区間を有するIETにおける置換規則と再スケーリングの関係を明確にすること。

提案手法

• 格子点 Z² がストリップ V + Ω と交差する部分を、方向 W に沿って直線 V へ射影することで、区間タイルの頂点集合を構成する幾何的射影構成を用いる。
• パーティションアルゴリズムを適用して窓パーティションと置換規則を生成し、体系的な置換規則の導出を可能にする。
• スuspensionデータが各部分区間で一意に表現されるように保証するため、IETにおけるパーティションの精錬プロセスを導入し、自己準同型の誘導を可能にする。
• ユニモジュラー線形変換と自己準同型の幾何的実現を用いて、窓と射影構造を通じて置換規則を特徴付ける。
• IETにRauzy-Veech再スケーリングを適用し、特に負の収縮係数 λ < 0 を有するフィボナッチケースに注目する。
• 精錬されたパーティション上のスuspensionデータのグラフを用いて、具体的な置換規則を導出する。たとえば σ(a₁,a₂,b₁,b₂) = (b₁a₁,a₂b₂,a₂,a₁) である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間射影構造を有する1次元タイルのうち、どのタイルが置換規則をもつのか？
• RQ2 このようなタイルに対して、置換規則の完全な集合は何か？ また、1つのタイルあたり同値でない規則はいくつ存在するか？
• RQ3 直線および半直線のタイルのうち、置換規則によって不変となるものはどれか？
• RQ4 IETのRauzy-Veech再スケーリングと、区間射影タイルにおける置換規則の存在との関係は何か？
• RQ5 再スケーリングがスuspensionデータ上で自己準同型を誘導するための条件は何か？ そして、それが非局所的置換規則を生じるメカニズムは何か？

主な発見

• すべての区間射影タイルは、同値でない置換規則を可算無限個もつ。
• 各タイルの置換規則の集合は、窓区間における幾何的パーティションアルゴリズムによって完全に特徴付けられる。
• 置換規則によって不変となるタイルは、窓と射影構造がユニモジュラー変換に関して不変であるものに限る。
• フィボナッチタイルでは、Rauzy-Veech再スケーリングにおける負の収縮係数 λ < 0 のため、非局所的置換規則が生じる。これは区間の精錬されたパーティションを必要とする。
• Rauzy-Veech再スケーリングは、各部分区間で一意なスuspension表現が保証されるように、区間のパーティションを精錬した後、スuspensionデータ上で自己準同型を誘導する。
• フィボナッチIETの場合、精錬されたパーティションにより、置換規則 σ(a₁,a₂,b₁,b₂) = (b₁a₁,a₂b₂,a₂,a₁) が得られ、これは例2.5の非局所的規則と一致する。