[論文レビュー] Matrix integrals and Hurwitz numbers

A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$n > 2$ 個の行列からなる多行列モデルとHurwitz数の間の関係を確立する。具体的には、行列の引数をとるtau関数の積の積分が、任意のオイラー乗数 $ extsc{e} \leq 2$ および $n+2$ 個以下の分岐点数 $ extsc{f} \leq n+2$ を持つ基底面に対してHurwitz数 $H^{\textsc{e},\textsc{f}}$ を生成することを示す。主な結果は、被積分関数に含まれる行列の積の順序およびBKPまたはTL tau関数の存在が、基底面が可定向（リーマン）か非可定向（クライン）かを決定することであり、生成関数はハイパージェオメトリック型のtau関数である。

ABSTRACT

We study multi-matrix models which may be viewed as integrals of products of tau functions which depend on the eigenvalues of products of random matrices. In the present paper we consider tau functions of the hierarchy the two-component KP (semiinfinite relativistic Toda lattice) and of hierarchy of the BKP introduced by Kac and van de Leur. Sometimes such integrals are tau functions themselves. We consider models which generate Hurwitz numbers $H^{e},f$, where $e$ is the Euler characteristic of the base surface and $f$ is the number of branch points. We show that in case the integrands contains the product of $n > 2$ matrices the integral generates Hurwitz numbers with $e\le 2$ and $f\le n+2$, both numbers $e$ and $f$ depend both on $n$ and on the order of the multipliers in the matrix product. The Euler characteristic $ e $ can be either an even or an odd number, that is, match both orientable and nonorientable (Klein) base surfaces, depending on the presence of the tau function of the BKP hierarchy in the integrand. We study two cases: the products of complex and the products of unitary matrices.

研究の動機と目的

• $n=1,2$ 以上の行列に拡張された行列モデルの積分を一般化し、任意の基底面トポロジーに対応するHurwitz数を生成すること。
• 非可定向（クライン）表面のHurwitz数が得られる条件を特定すること。可定向（リーマン）表面に限らない。
• 被積分関数における行列乗算の順序が、基底面のオイラー乗数 $\textsc{e}$ を偶数の整数に減少させることを示すこと。
• 被積分関数にBKP tau関数を含む積分が非可定向基底面に対応することを示し、TL/BKPの組み合わせが混合ケースを生成することを示すこと。
• ヘルミート、ユニタリ、複素行列アンサンブルの異なる行列アンサンブルを統一的に記述するため、行列の引数をとるtau関数を用いてHurwitz数を記述すること。

提案手法

• 行列の成分に関する積分として、$n > 2$ 個の行列の積の各tau関数の積をとる積分を定義する。ここで各tau関数は、$Z$ を行列の積とする $\mathrm{tr}(Z^m)$ に依存する。
• 行列積分のキャラクター展開を用い、対称群の既約表現の和としてパーティション $\lambda$ でインデックスづけられた生成関数を表現する。
• 得られた級数が、行列アンサンブル（ヘルミート、ユニタリ、複素）に応じて、二成分KPおよびBKP階層のハイパージェオメトリック型tau関数に一致することを示す。
• 文献[26]および[69]の結果を適用し、生成関数を、重み付き端点を持つケイリー群上のパスを数える、モノトニックHurwitz数の射影的類似物として解釈する。
• ユニタリ群 $\mathbb{U}(N)$ と複素行列の混合積分を用いることで、$(N)_\lambda$ 要素を除去し、純粋な射影的Hurwitz数生成関数を得る。
• パrameter $\mathbf{p}^{(i)}$ を $\mathbf{p}(\texttt{q}_i, \texttt{t}_i)$ に特殊化することで、弱モノトニックまたは厳密モノトニックHurwitz数の既知の生成関数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n > 2$ 個の行列を用いた多行列モデルは、オイラー乗数 $\textsc{e} \leq 2$ を持つ基底面に対し、Hurwitz数を生成できるか？
• RQ2 積のなかでの行列の順序が、得られるHurwitz数の位相的不変量（オイラー乗数 $\textsc{e}$、分岐点数 $\textsc{f}$）にどのように影響するか？
• RQ3 BKP tau関数が、生成関数において可定向（リーマン）と非可定向（クライン）基底面を区別するために果たす役割は何か？
• RQ4 行列の引数をとるtau関数の積の積分は、非連結または弱モノトニック型を含む射影的Hurwitz数の生成関数を生成できるか？
• RQ5 このような行列積分が自身はtau関数でない場合、それでもtau関数から得られる主要な性質を継承する条件は何か？

主な発見

• $n > 2$ 個の行列に対して、積分はオイラー乗数 $\textsc{e} \leq 2$ および分岐点数 $\textsc{f} \leq n+2$ を持つHurwitz数を生成する。両者とも $n$ と行列の順序に依存する。
• 行列乗算の順序を変更すると、$\textsc{e}$ が偶数の整数に減少し、リーマン表面からクライン表面への位相的遷移を示す。
• 被積分関数にBKP tau関数が含まれる場合、非可定向基底面（クライン表面）に対応する。一方、TL/BKPの組み合わせは混合ケースを生成する。
• ユニタリ行列の積分 $\int \tau^\text{B}_1(U_2) e^{\mathrm{tr}(V(U_1,\mathbf{p}))+\mathrm{tr}(cU_1^\dagger U_2^\dagger)} d_*U_1 d_*U_2$ は、ハイパージェオメトリック型のBKP tau関数を生成する。
• $n=1, m=1$ の場合の生成関数 $\sum_{\lambda} c^{|λ|} \frac{s_{\lambda}(\mathbf{p})}{(N)_\lambda}$ は、弱モノトニックHurwitz数の生成関数の射影的類似物である。
• ユニタリ群 $\mathbb{U}(N)$ と複素行列の積分を組み合わせることで、$(N)_\lambda$ 因子が相殺され、射影的Hurwitz数 $H^{1,n}$ の明確な生成関数が得られる。