[論文レビュー] Maximal entropy measures for Viana maps

Alexander Arbieto, Carlos Matheus+1 more|ArXiv.org|Dec 8, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界点をもつ非一様に拡大する1次元写像のクラスであるViana写像に対して、非一様拡大性、臨界集合への緩やかな再帰性、およびOliveira（2003）の手法を修正した戦略を用いることで、最大エントロピー測度の存在を確立する。主な結果は、すべてのViana写像がほぼ定数のポテンシャルに対して平衡状態を有し、すべてのリャプノフ指数が0より大きい一意な最大エントロピー測度をもつことである。

ABSTRACT

In this note we construct measures of maximal entropy for a certain class of maps with critical points called Viana maps. The main ingredients of the proof are the non-uniform expansion features and the slow recurrence (to the critical set) of generic points with respect to the natural candidates for attaining the topological entropy.

研究の動機と目的

• Viana写像—臨界点をもつ非一様に拡大する写像のクラス—に対して平衡状態の存在を確立すること。
• 一様双曲性を妨げる臨界点の存在と、非一様拡大性および再帰条件におけるLebesgue測度への依存性という課題を克服すること。
• Oliveiraの戦略をほぼ定数のポテンシャルに適応させるために、候補測度の集合Kを構成し、それが生成分割をもつ拡大性を示すこと。
• 得られた平衡状態が、すべてのリャプノフ指数が正の定数より大きいという性質をもつ双曲的であることを示すこと。
• 結果を小さな確率的摂動へと拡張し、一意性および統計的性質への含意を議論すること。

提案手法

• Viana写像を、拡大する円周写像と小さな摂動を加えた二次族のスケアッド積として定義し、非一様拡大性と臨界集合の構造を保証する。
• 非一様拡大性と緩やかな再帰性に基づき、変分原理を達成する自然な候補となる不変測度の集合Kを導入する。
• Kに属さない任意の測度は平衡状態になりえず、Kに属する任意の測度は拡大的（すなわち正のリャプノフ指数と双曲的時刻をもつ）であることを証明する。
• 双曲的時刻と臨界集合への緩やかな再帰性を用いて、拡大的測度が生成分割をもつことを確立する。
• エントロピーの下半連続性と標準的な変分原理を用いて、ほぼ定数のポテンシャルに対する平衡状態の存在を結論づける。
• AlvesとAraújoの結果を用いて確率的摂動の枠組みへと拡張し、集合Kを確率的設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界点が存在するにもかかわらず、Viana写像はほぼ定数のポテンシャルに対して平衡状態をもつか？
• RQ2 系が一様双曲的ではなく、非一様拡大性にLebesgue測度に依存する場合、標準的な平衡状態の構成戦略をどのように適応できるか？
• RQ3 Viana写像の最大エントロピー測度は一意的か？ また、正のリャプノフ指数をもつか？
• RQ4 Viana写像の小さな確率的摂動へと結果を拡張できるか？
• RQ5 得られた平衡状態のエルゴード的性質（例：相関関数の減衰）は何か？

主な発見

• Viana写像は、論文の式(3)で定義される条件を満たすほぼ定数のポテンシャルに対して平衡状態をもつ。
• 特に、すべてのViana写像は一意な最大エントロピー測度をもち、これは定数ポテンシャルφ = 0に対応する。
• Viana写像のすべての平衡状態は、すべてのリャプノフ指数があるλ₀ > 0より大きいという性質をもつ。これは双曲的であることを確認する。
• このような測度の存在は、双曲的時刻と臨界集合への緩やかな再帰性に依拠するOliveiraの戦略の修正版を用いて確立される。
• 元来d ≥ 16と仮定されていたが、結果はC∞で小さな摂動を受けるViana写像（d ≥ 2）へと拡張可能である。
• この枠組みは、Viana写像の小さな確率的摂動へも適用可能であり、確率的設定においても同様の平衡状態の存在結果が得られる。