[論文レビュー] McKay correspondence and the branching law for finite subgroups of $\mathbf{SL}_3\mathbb{C}$

Frédéric Butin, Gadi S. Perets|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元への McKay 対応の一般化を確立し、各有限部分群 $ \Gamma \subset \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ に対して一般化 Cartan 行列 $ C_{\Gamma} $ を関連付ける。また、$ \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ の既約表現を $ \Gamma $ に制限した際の分解則が有理生成関数に符号化されていることを証明する。主な結果は、特徴関数に関連する行列の同時対角化を用いた行列に基づく方法により、これらの重複度を計算できることであり、すべての有限部分群に対して明示的な有理関数が得られる。

ABSTRACT

Given $Γ$ a finite subgroup of $\mathbf{SL}_3\mathbb{C}$, we determine how an arbitrary finite dimensional irreducible representation of $\mathbf{SL}_3\mathbb{C}$ decomposes under the action of $Γ$. To the subgroup $Γ$ we attach a generalized Cartan matrix $C_Γ$. Then, inspired by B. Kostant, we decompose the Coxeter element of the Kac-Moody algebra attached to $C_Γ$ as a product of reflections of a special form, thereby suggesting an algebraic form for the McKay correspondence in dimension 3.

研究の動機と目的

• 有限部分群 $ \Gamma \subset \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ に対して一般化 Cartan 行列 $ C_{\Gamma} $ を構成することにより、次元 2 から次元 3 への McKay 対応の拡張を達成すること。
• $ \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ の有限次元既約表現 $ V(m,n) $ が $ \Gamma $ の作用を受けるときの分解を決定すること、すなわち $ V(m,n) $ における $ \Gamma $ の各既約特徴関数の重複度を計算すること。
• 重複度を符号化する生成関数 $ P_{\Gamma}(t,u)_i = \sum_{m,n} m_i(m,n) t^m u^n $ が有理関数であることを証明すること。
• タイプ $ A, B, C, D, L $ を含むすべての $ \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ の有限部分群に対して、明示的な有理関数を行列因数分解と特徴表データを用いて提供すること。

提案手法

• 標準表現とのテンソル積による再帰関係を用い、重複度 $ m_i(m,n) $ の線形系を導出する。
• 特徴表から構成される二つの行列の同時対角化を用いて再帰関係を逆算する。これらの固有値は群の特徴関数である。
• 生成関数 $ P_{\Gamma}(t,u)_i $ をスカラー行列と有理関数行列を含む行列積として表現し、問題を行列乗算に還元する。
• 各 $ \Gamma $ に対して一般化 Cartan 行列 $ C_{\Gamma} $ を関連付け、対応する Kac-Moody代数のコックスター元を、互いに直交するルート系からの反射の積に因数分解する。
• Kostant の $ \mathrm{SL}_2\mathbb{C} $ の場合の手法を一般化し、類似の行列技法により有理性が示された。
• すべての有限部分群に対して明示的な有理関数を計算し、タイプ $ A, B, C, D $ および $ L $ の分母と分子を明示的に与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限部分群 $ \Gamma \subset \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ に対する $ \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ の既約表現の制限の分解則を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 特徴表を用いた行列技法により、重複度関数の生成関数の有理性を確立できるか？
• RQ3 3次元 McKay 対応の背後にある代数的構造は何か。2次元の場合にどのように一般化されるか？
• RQ4 $ \Gamma $ に関連する Kac-Moody代数のコックスター元を、直交するルート系からの反射に因数分解する方法は何か？
• RQ5 すべての $ \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ の有限部分群、特に例外的タイプ $ A, B, C, D, L $ を含めて、重複度生成関数を記述する明示的な有理関数は何か？

主な発見

• $ \Gamma \subset \mathrm{SL}_3\mathbb{C} $ のすべての有限部分群に対して、$ V(m,n) $ における $ \Gamma $ の既約特徴関数の重複度を符号化する生成関数 $ P_{\Gamma}(t,u)_i $ が有理関数であることが証明された。
• $ A_1 $ 型（巡回群）の場合、有理関数は $ \widehat{P}_A(t) = \frac{1 - t^3}{(1 - t)^2(1 + t + t^2)} $ であり、分母は $ (1 - t)^2(1 + t + t^2) $ である。
• $ D_4 $ 型の場合、生成関数の分母は $ (t - 1)^3(t^2 + t + 1)^3(t^2 + 1)(t^4 - t^2 + 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)(t^8 - t^7 + t^5 - t^4 + t^3 - t + 1)(t + 1)^2(t^2 - t + 1)^2 $ である。
• 例外的 $ L $-型群の場合、分母は $ (t - 1)^3(t^2 + t + 1)^3(t^2 + 1)(t^4 - t^2 + 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)(t^8 - t^7 + t^5 - t^4 + t^3 - t + 1)(t + 1)^2(t^2 - t + 1)^2 $ である。
• $ L $-型群の有理関数は $ \widehat{P}_L(t) = \frac{-t^{30} + t^{15} - 1}{(t - 1)^3(t^2 + t + 1)^3(t^2 + 1)(t^4 - t^2 + 1)(t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)(t^8 - t^7 + t^5 - t^4 + t^3 - t + 1)(t + 1)^2(t^2 - t + 1)^2} $ である。
• 本手法により、すべての部分群に対して明示的な有理関数が得られ、$ M_L(t,u)_3 = M_L(u,t)_2 $ のような対称的関係が得られ、分解則における双対性が示された。