[論文レビュー] On the existence of crepant resolutions of Gorenstein Abelian quotient singularities in dimensions \geq 4

Dimitrios I. Dais, Martin Henk+1 more|ArXiv.org|Dec 28, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 86被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、次元 ≥4 のGorensteinアーベル商特異点におけるcrepant解消の存在を、トーリック幾何および離散幾何の手法を用いて調査する。ヒルベルト基底要素と上界定理を含む2つの必要条件を確立し、特異点がプロジェクト型のcrepant解消をもつ、非完備交差でない無限系列の巡回商特異点を新たに同定する。

ABSTRACT

For which finite subgroups G of SL(r,C), r \geq 4, are there crepant desingularizations of the quotient space C^r/G? A complete answer to this question (also known as "Existence Problem" for such desingularizations) would classify all those groups for which the high-dimensional versions of McKay correspondence are valid. In the paper we consider this question in the case of abelian finite subgroups of SL(r,C) by using techniques from toric and discrete geometry. We give two necessary existence conditions, involving the Hilbert basis elements of the cone supporting the junior simplex, and an Upper Bound Theorem, respectively. Moreover, to the known series of Gorenstein abelian quotient singularities admitting projective, crepant resolutions (which are briefly recapitulated) we add a new series of non-c.i. cyclic quotient singularities having this property.

研究の動機と目的

• r ≥ 4 である有限アーベル部分群 G ⊂ SL(r, ℂ) で、商特異点 ℂ^r/G がcrepant解消をもつものかどうかを特定すること。
• crepant解消の存在問題を解決することで、 McKay対応を高次元に拡張すること。
• とくに既知のc.i.（完備交差）ケースを超えた、プロジェクト型のcrepant解消をもつGorensteinアーベル商特異点を分類すること。
• 特にヒルベルト基底と格子単体を用いた幾何的・組合せ的道具を構築し、このような解消の存在を分析すること。
• 非完備交差でない巡回例を含む、新たな特異点クラスを同定すること、これらがcrepant解消をもつこと。

提案手法

• 商特異点 ℂ^r/G の構造をジュニア単体とその関連する錐を用いて分析するため、トーリック幾何および離散幾何を用いる。
• ジュニア単体の錐のヒルベルト基底を用いて、crepant解消の存在に必要な条件を導出する。
• ユニモジュラー変換とヘルメート正規形による格子還元を用い、ジュニア単体を ℤ^{r−1} 内の標準格子単体に変換する。
• 単体内の格子点の数を数える公式（定理 D.8）を用い、変換後の単体におけるヒルベルト基底要素の数を計算する。
• 群作用の組合せ的不変量に基づいて、crepant解消の存在可能性を制限する上界定理を適用する。
• ユニモジュラー行列による変換により、元の格子 N_G を標準格子 ℤ^{r−1} に変換し、既知の格子点数え上げ技法の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r ≥ 4 である有限アーベル部分群 G ⊂ SL(r, ℂ) に対して、商特異点 ℂ^r/G がcrepant解消をもつのはどのような場合か？
• RQ2 プロジェクト型のcrepant解消の存在に必要な、G に関する組合せ的または幾何的条件は何か？
• RQ3 次元 ≥4 において、非完備交差でない巡回商特異点の新たなクラスが、プロジェクト型のcrepant解消をもつことは可能か？
• RQ4 ジュニア単体の錐のヒルベルト基底要素は、crepant解消の存在とどのように関係するか？
• RQ5 ジュニア単体内の格子点数に対する上界は、crepant解消の存在可能性を制限するためにどのように導出できるか？

主な発見

• crepant解消の存在に必要な2つの条件が導出された：1つはジュニア単体の錐のヒルベルト基底要素に関連するもので、もう1つは上界定理によるものである。
• 次元 ≥4 における非完備交差でない巡回商特異点の新たな無限系列が同定され、これらはプロジェクト型のcrepant解消をもつ。
• ユニモジュラー変換により ℤ^{r−1} 内の標準格子単体に変換した結果、ジュニア単体内の格子点数は不変であり、定理 D.8 を用いて計算可能である。
• ユニモジュラー行列およびヘリュート正規形による変換プロセスにより、数え上げ問題が標準格子設定に還元され、明示的な計算が可能になる。
• 本稿では、crepant解消の存在が、特にジュニア単体の構造とそのヒルベルト基底を通じた群作用の組合せ論的性質によって制約されることを確立した。
• 構成により、ジュニア単体内のヒルベルト基底要素の数が格子同型写像のもとで保存されることを確認し、crepant解消の存在を検出するための重要な不変量が得られた。