[논문 리뷰] Measuring nonstabilizerness via multifractal flatness

Xhek Turkeshi, Marco Schiró외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 102인용 수 8

한 줄 요약

논문은 nonstabilizerness(매직)을 웨이브 함수 구조와 연결하고 다중 프랙탈(flatness)을 도입하여 클리포드 오빗의 평균이 안정자 엔트로피와 관련이 있음을 보이며, 양자 기기에서의 측정 가능성을 시연한다.

ABSTRACT

Universal quantum computing requires nonstabilizer (magic) quantum states. Quantifying the nonstabilizerness and relating it to other quantum resources is vital for characterizing the complexity of quantum many-body systems. In this work, we prove that a quantum state is a stabilizer if and only if all states belonging to its Clifford orbit have a flat probability distribution on the computational basis. This implies, in particular, that multifractal states are nonstabilizers. We introduce multifractal flatness, a measure based on the participation entropy that quantifies the wave-function distribution flatness. We demonstrate that this quantity is analytically related to the stabilizer entropy of the state and present several examples elucidating the relationship between multifractality and nonstabilizerness. In particular, we show that the multifractal flatness provides an experimentally and computationally viable nonstabilizerness certification. Our work unravels the direct relation between the nonstabilizerness of a quantum state and its wave-function structure.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태에서 nonstabilizerness(매직)을 정량화해야 하는 필요성을 동기 부여하고 형식화한다.
• 참여 엔트로피와 다중 프랙탈 분석을 통해 wave-function 구조와 nonstabilizerness를 연결한다.
• 다중 프랙탈 flatness를 도입하고 그것의 안정자 엔트로피 및 nonstabilizerness와의 관계를 증명한다.
• 클리포드-오빗의 평균화를 통해 nonstabilizerness를 추정하는 실용적 방법을 제공하고 실험적 측정 가능성을 시연한다.

제안 방법

• 컴퓨테이셔널 기반 분포에서 M_q(|Ψ⟩)와 참여 엔트로피 S_q(|Ψ⟩)를 정의한다.
• 다중 프랙탈 flatness F(|Ψ⟩) = I_3(|Ψ⟩) − I_2(|Ψ⟩)^2를 도입하고, 평평한 분포에서 등호를 가지며 비음수임을 증명한다.
• 정리 1: Clifford-오빗의 F의 평균이 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2))와 같음을 보인다.
• 평탄도와 nonstabilizerness 사이의 상관을 도출하고, 고정된 C에 대한 실용적 증거 F(C|Ψ⟩)를 얻는다.
• 평균 평탄도를 추정하고 따라서 M_2를 추정하기 위한 Clifford 군에 대한 몬테카를로 샘플링을 논의한다.
• 노이즈가 많은 중간 규모 양자 기기에서의 실험적 가능성을 시연한다.

Figure 1: Pictorial representation of the replica picture. Each page is a folding of $C|\Psi\rangle$ and its adjoint. Applying $\Lambda^{(q)}_{k}$ on each site imply a sum over the same physical index and results in book boundary conditions.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴퓨테이셔널 기반의 파동함수 구조만으로 nonstabilizerness를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 상태의 Clifford-오빗 평탄도와 안정자 엔트로피 M_2 사이에 정확한 관계가 있는가?
• RQ3 다중 프랙탈 flatness가 실용적 매직 웨니스가 되고 현재의 양자 기기에서 측정 가능한가?
• RQ4 다중 프랙탈성(참여 분포의 비평탄성)이 다양한 상태 클래스(단일 큐비트, 곱 상태, Haar 랜덤 상태) 전반에서 nonstabilizerness를 어떻게 시사하는가?

주요 결과

• 안정자 상태의 참여 분포는 평탄하고, 반대로 non-stabilizer 상태는 Clifford 오빗에서 평탄하지 않은 참여 분포를 가진다(정리 1 및 corollary 1).
• 다중 프랙탈 flatness의 Clifford-오빗 평균은 안정자 엔트로피와 연결되며, overline{F} = 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2))이다.
• 다중 프랙탈 flatness는 몬테카를로 샘플링을 통해 추정 가능한 실용적 nonstabilizerness 인증을 제공한다.
• 예시는 nonstabilizerness가 참여 엔트로피의 비평탄성과 상관관계를 보이며, Haar 임의 상태는 높은 M_2를 가지나 참여 분포가 항상 평탄하진 않다.
• 수치적 시연은 F로부터 M_2를 추정하려면 시스템 크기에 따라 지수적 샘플링 노력이 필요하나, 작은 N에 대해 로컬 Clifford 회로 기반의 프로빙은 가능하다는 것을 시사한다; IBM 양자 기기 실험은 오류 완화와 함께 F의 측정 가능성을 보여준다.
• 이 연구는 상태의 nonstabilizerness와 파동함수 구조 사이의 직접적인 연결고리를 확립하여 실용적인 매직 탐지를 가능하게 한다.

Figure 2: Determining stabilizer entropy with multifractal flatness $\mathcal{F}$ . Upper panel: statistical error $\sigma(M_{2})$ of stabilizer entropy determined from $\mathcal{N}_{\mathrm{real}}$ measurements of $\mathcal{F}$ for a random Haar state; the asymptotic $\mathcal{N}^{-1/2}_{\mathrm{re