[論文レビュー] Metrics on universal covering of projective variety

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特異的でない射影的多様体 $X$ の普遍被覆 $U_X$ に対して、特別な計量 $Λ_{\mathcal{L}}$、$Σ_{\mathcal{L}}$、および $β$ を構成する。$X$ の基本群が大きく、残余有限かつ非アーベル的であるという条件下で、$U_X$ が $\mathbb{C}^n$ 内の有界スタイン領域であることを証明し、均質化定理を確立するとともに、残余有限性および非アーベル性の下でシャファレヴィチの予想（正則凸性）を裏付ける。

ABSTRACT

Let U be a universal covering of a connected nonsingular projective variety X with large and residually finite fundamental group. We construct metrics on U and provide another version of the uniformization theorem, namely: if the fundamental group of X is, in addition, nonamenable then U is a bounded Stein domain. The Appendix contains a proof of the Shafarevich conjecture provided the fundamental group is residually finite.

研究の動機と目的

• 基本群 $\pi_1(X)$ に関する仮定のみに基づいて、特異的でない射影的多様体 $X$ の普遍被覆 $U_X$ の均質化定理を確立すること。
• 正則関数および canonical バンドルの断片を用いて、$U_X$ 上に計量 $\Lambda_{\mathcal{L}}$、$\Sigma_{\mathcal{L}}$、および $β$ を構成すること。
• 基本群 $\pi_1(X)$ が非アーベル的である場合に、$U_X$ が有界スタイン領域であることを証明し、正則凸性に関するシャファレヴィチの予想を裏付けること。
• $U_X$ 上に diastasis を拡張し、その結果として部分レベル集合の相対コンパクト性を示すことで、スタイン性の鍵となる段階を達成すること。
• 残余有限性および非アーベル的基底群を有する特異的正規射影的多様体への結果の一般化を試みるが、詳細は今後の研究に備える。

提案手法

• 射影空間への埋め込み $X \hookrightarrow \mathbb{P}^r$ を定義する非常に ample な線分束 $\mathcal{L}$ を用いて、$U_X$ 上に計量 $\Lambda_{\mathcal{L}}$ を構成する。
• 基本群 $\pi_1(X)$ が非アーベル的である場合に、体積形式 $dv_{\Lambda}$ に関する $L^2$ 正則関数を用いて、Bergman 型計量 $\Sigma_{\mathcal{L}}$ を定義する。
• 大きな $q$ に対する $\mathcal{K}_X^q$ の $L^2$ 戦略を用いて計量 $\beta$ を定義し、無限次元射影空間への自然な埋め込みを導く。
• Kähler 計量上の diastasis を $U_X$ 上に適用し、経路に沿った解析接続によって diastasic ポテンシャル $\mathbb{P}_{U_X}$ を全域的に拡張する。
• Oka-Grauert-Narasimhan の定理を用い、部分レベル集合 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ が相対コンパクトであることを示す。
• Campana-Deligne の定理に依拠し、一般の曲線的断面 $C \subset X$ の幾何を、被覆 $R_C = \tau^{-1}(C)$ であるリーマン面に持ち上げ、被覆の塔を用いて diastasis が離散的集合上で無限大に発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群 $\pi_1(X)$ にどのような条件を課せば、射影的多様体の普遍被覆 $U_X$ が有界スタイン領域として均質化可能になるか？
• RQ2 残余有限性および非アーベル性といった基本群に関する仮定のみで、シャファレヴィチの正則凸性に関する予想を証明できるか？
• RQ3 一般の曲線的断面 $C$ に対して $g(C) \geq 2$ が成り立ち、$\pi_1(X)$ が大きくかつ残余有限である場合に、$U_X$ 上で diastasis をどのように全域的に拡張できるか？
• RQ4 基本群 $\pi_1(X)$ の非アーベル性が、スタイン性を示すのに十分な成長を示す Bergman 型計量の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 非アーベル的かつ残余有限な $\pi_1(X)$ を持つ特異的正規射影的多様体に対しても、均質化結果を拡張できるか？

主な発見

• 特異的でない射影的多様体 $X$ の普遍被覆 $U_X$ が、$\pi_1(X)$ が大きく、残余有限かつ非アーベル的である場合、$\mathbb{C}^n$ 内の有界スタイン領域である。
• 与えられた仮定の下で、diastasic ポテンシャル $\mathbb{P}_{U_X}$ は $U_X$ 全体にわたって正しく延長可能であり、部分レベル集合の相対コンパクト性を示すために不可欠である。
• 部分レベル集合 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ は $U_X$ 内で相対コンパクトであり、これは $U_X$ が正則凸的であり、したがってスタイン的であることを示唆する。
• 大きな $q$ に対して $\mathcal{K}_X^q$ の $L^2$ 戦略を用いた計量 $\beta$ の構成により、$U_X$ が無限次元射影空間に自然に埋め込まれる。これは $\pi_1(X)$ が非常に大きいことを示唆する。
• Bergman 型計量 $\Sigma_{\mathcal{L}}$ が $U_X$ 上に存在するという事実から、canonical バンドル $\mathcal{K}_X$ が ample であることが従う。
• 均質化定理の証明は、Griffiths の均質化定理に依存せず、代わりに diastasis と Oka-Grauert-Narasimhan の定理を用いることで、新たな直接的証明を提供する。