[論文レビュー] Metrizable uniform spaces

Sergey A. Melikhov|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 77被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、距離化可能な一様空間上の商一様構造が距離化可能トポロジーを与えることを確立し、錐、結合、写像シリンダーといった自然なホモトピー余極限の構成を、距離構造と整合的に可能にする。また、コンパクトな多面体の反復ループ空間が一様ANRであることを証明し、距離化可能な設定における一様ANRの4通りの同値な特徴づけを提供する。これにより、非距離化可能トポロジーと「わき出し」関数空間に起因する、幾何的・代数的トポロジー分野における基礎的問題が解決される。

ABSTRACT

Three themes of general topology: quotient spaces; absolute retracts; and inverse limits - are reapproached here in the setting of metrizable uniform spaces, with an eye to applications in geometric and algebraic topology. The results include: 1) If f: A -> Y is a uniformly continuous map, where X and Y are metric spaces and A is a closed subset of X, we show that the adjunction space X\cup_f Y with the quotient uniformity (hence also with the topology thereof) is metrizable, by an explicit metric. This yields natural constructions of cone, join and mapping cylinder in the category of metrizable uniform spaces, which we show to coincide with those based on subspace (of a normed linear space); on product (with a cone); and on the isotropy of the l_2 metric. 2) We revisit Isbell's theory of uniform ANRs, as refined by Garg and Nhu in the metrizable case. The iterated loop spaces Ω^n P of a pointed compact polyhedron P are shown to be uniform ANRs. Four characterizations of uniform ANRs among metrizable uniform spaces X are given: (i) the completion of X is a uniform ANR, and the remainder is uniformly a Z-set in the completion; (ii) X is uniformly locally contractible and satisfies the Hahn approximation property; (iii) X is uniformly ε-homotopy dominated by a uniform ANR for each ε>0; (iv) X is an inverse limit of uniform ANRs with "nearly splitting" bonding maps. Several chapters are devoted primarily to exposition: (I) an introduction to uniform spaces, with a focus on the metrizable case; (V) the space of measurable functions; (VI) the space of probability measures and other measure spaces.

研究の動機と目的

• 非距離化可能な商トポロジーと「わき出し」関数空間に起因する、幾何的・代数的トポロジー分野における基礎的欠陥を是正すること。
• 距離化可能な一様空間上の商一様構造が距離化可能トポロジーを与えることを示し、良好に振る舞うホモトピー余極限を可能にすること。
• アイズベルの理論を距離化可能な設定に再定式化し、新たな特徴づけを提供するとともに、コンパクトな多面体の反復ループ空間が一様ANRであることを証明すること。
• カントロビッチ–ルビンシュテインノルムを備えた確率測度空間が一様に可縮的かつ一様に局所可縮的であることを確立し、リトラクト性を分析すること。

提案手法

• 一様連続写像 $f: A \to Y$ で $A$ が $X$ において閉集合である場合の、付随空間 $X \cup_f Y$ に明示的な距離を構成し、商一様構造の距離化可能性を保証すること。
• 商一様構造を用いてホモトピー余極限（錐、結合、写像シリンダー）を定義し、ノルム線形空間または $l_2$ メトリックを用いた標準的構成と一致させること。
• 一様拡張の理論と細密一様構造を用いて、完備な局所凸空間への一様連続写像が普遍拡張へ連続に拡張可能であることを証明すること。
• 完成、局所可縮性、$\varepsilon$-ホモトピー支配、およびほぼ分裂する結合写像を持つ逆極限を用いた一様ANRの特徴づけ。
• 確率測度にカントロビッチ–ルビンシュテインノルムを導入し、一様可縮性を証明し、リトラクト性を分析すること。
• デュガンジの拡張定理と線形ホモトピーを用いて、$PM_\tau(X)$、$PM_\rho(X)$、および $PM_\delta(X)$ が絶対リトラクトかつ一様に可縮的であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離化可能な一様空間上の商一様構造が、ホモトピー余極限における標準的商トポロジーの非距離化可能性を克服する距離化可能トポロジーを生じるか？
• RQ2 ノルム線形空間における錐、結合、写像シリンダーの標準的構成が、距離化可能な一様空間の圏における商一様構造によって定義されたものと一致するか？
• RQ3 点をもつコンパクトな多面体 $P$ の反復ループ空間 $\Omega^nP$ は、距離化可能な設定において一様ANRか？
• RQ4 距離化可能な一様空間における一様ANRの同値な特徴づけは何か？また、完成、局所可縮性、逆極限とどのように関係するか？
• RQ5 カントロビッチ–ルビンシュテインノルムを備えた確率測度空間が一様ARまたはリトラクトであるための条件は何か？

主な発見

• 一様連続写像 $f: A \to Y$ で $A$ が $X$ において閉集合であるとき、付随空間 $X \cup_f Y$ に商一様構造を導入すると、明示的な距離構成により距離化可能である。
• 商一様構造を備えた $\mathbb{R}$ の錐は距離化可能であり、標準的商トポロジーにおける非距離化可能性の問題が解消される。
• 点をもつコンパクトな多面体 $P$ の反復ループ空間 $\Omega^nP$ は一様ANRであり、一様ANR理論が代数的トポロジーにおける重要な例へ拡張される。
• 距離化可能な一様空間における一様ANRの4通りの同値な特徴づけが確立された：(i) 完成が一様ANRで残りが一様Z集合であること；(ii) 一様に局所可縮的でハーン近似を満たすこと；(iii) 任意の $\varepsilon > 0$ に対して一様ANRによる $\varepsilon$-ホモトピー支配を満たすこと；(iv) ほぼ分裂する結合写像を持つ一様ANRの逆極限であること。
• カントロビッチ–ルビンシュテインノルムを備えた確率測度空間 $PM_\tau(X)$、$PM_\rho(X)$、$PM_\delta(X)$ は絶対リトラクトであり、一様に可縮的である。
• 単位球がARでない分離可能な距離空間 $B$ に対して、$PM_\tau(B)$、$PM_\rho(B)$、$PM_\delta(B)$ は一様ARでないことが示され、一様AR性が幾何的制約に依存することを示している。