[論文レビュー] Minimal ends in H2xR with finite total curvature and a Schoen type theorem

Laurent Hauswirth, Barbara Nelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^2\times\mathbb{R}$ 内の極小表面に対して、Schoen型の分類定理を確立する：有限全曲率で二つの端を持つ、かつ垂直な測地線平面に漸近する、完全で連結な極小表面は、水平なケーテノイドに限る。著者らは調和写像理論と一般化されたHopf微分を用いて有限全曲率の端を分析し、それが正しく埋め込まれており、境界からの測地線距離によって局所的にガウス曲率が有界であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove that a complete minimal surface immersed in H^2xR, with finite total curvature and two ends, each one asymptotic to a vertical geodesic plane, must be a horizontal catenoid. Moreover, we give a geometric description of minimal ends of finite total curvature in H^2xR. We also prove that a minimal complete end E with finite total curvature is properly immersed and that the Gaussian curvature of E is locally bounded in terms of the geodesic distance to its boundary.

研究の動機と目的

• 完全で連結な極小表面を$ℝ^2\times\mathbb{R}$ で分類し、有限全曲率と二つの端を持つものについて。
• 有限全曲率を持つ極小表面の端の幾何的構造を$ℝ^2\times\mathbb{R}$ で特徴付けること。
• このような端が正しく埋め込まれており、そのガウス曲率が境界からの測地線距離によって局所的に有界であることを証明すること。
• Schoenの古典的結果を$ℝ^3$ から積空間$ℝ^2\times\mathbb{R}$ に拡張し、垂直な測地線平面の端を持つ唯一の二端表面として水平ケーテノイドを同定すること。

提案手法

• 極小埋め込みのための一般化されたHopf微分を、$ℝ^2$ への射影の調和写像構造から導出する。
• 複素解析および調和写像理論、特にHan, Tan, Treibergs, Minskyの結果を応用して、端の漸近的挙動を分析する。
• $ℝ^2$ 内の曲線の境界最大値原理を用いて、端の水平断面が測地線に収束することを研究する。
• 等距離線と最大値原理による曲率比較を用いて、有界曲率の曲線との交差の横断性と一意性を証明する。
• 有限全曲率の端の水平断面が、極限となる水平測地線に収束することを分析し、幾何的制御を確立する。
• CollinとRosenbergによる、$ℝ^2$ 内の理想多角形領域上の極小グラフのJenkins-Serrin型存在結果を用いて、有限全曲率の端の例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限全曲率と二つの端を持つ、完全で連結な極小表面を$ℝ^2\times\mathbb{R}$ で完全に分類できるか？
• RQ2 垂直な測地線平面に漸近する極小表面が、非対称的または非ケーテノイド的であることはあり得るか？
• RQ3 有限全曲率の端の幾何的性質は、$ℝ^3$ におけるものとどのように比較できるか？
• RQ4 すべての有限全曲率の端が正しく埋め込まれており、その曲率が境界からの測地線距離の関数として有界であるか？
• RQ5 Hopf微分は、このような端の漸近的幾何を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 有限全曲率で二つの端を持つ、完全で連結な極小表面が$ℝ^2\times\mathbb{R}$ 内に存在し、各端が垂直な測地線平面に漸近するならば、それは必然的に水平ケーテノイドである。
• 有限全曲率を持つ完全な極小端は、すべて正しく埋め込まれている。
• 有限全曲率の端$E$ において、ガウス曲率は$E$ の境界からの測地線距離の関数として局所的に有界である。
• 有限全曲率の端の水平断面は、極限となる水平測地線に収束し、これが端の漸近的幾何を特徴付ける。
• 有限全曲率の端の幾何は、水平断面の漸近的挙動を通じて、理想境界$∂_{\infty}\u211d^2$ 内の閉じた多角形曲線によって完全に記述される。
• 有限全曲率を持つ極小埋め込み端は無限に多くの異なる種類が存在し、その例として、境界値が交互に$+\infty$ と$-\infty$ である理想多角形上に作られた極小グラフが挙げられる。