[論文レビュー] Mixed modular perverse sheaves on moment graphs

Shotaro Makisumi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コクセター群とその反射忠実表現に関連するモーメントグラフ上に、ソルゲルの階数付きカテゴリカルOを一般化する、混合モジュラー perverse sheaf 圏を導入する。アチャール＝リェシュの混合導来圏と類似した再統合構造を用い、この圏が階数付き最高重みであることを確立し、モジュラー表現論のための組合せ的枠組みを提供するとともに、ソルゲル bimodule の文脈におけるコーゾール双対性およびルーカイエ複体の実現の新しい証明を可能にする。

ABSTRACT

We study an analogue of the Achar-Riche "mixed modular derived category" for moment graphs. In particular, given a Coxeter group $W$ and a reflection faithful representation $\mathfrak{h}$, we introduce a category that plays the role of Schubert-stratified mixed modular perverse sheaves on "the flag variety associated to $(W, \mathfrak{h})$." We show that this Soergel-theoretic generalization of graded category $\mathcal{O}$ is graded highest weight.

研究の動機と目的

• モーメントグラフのための混合モジュラー導来圏を構築し、幾何的フラッグ多様体を超えるアチャール＝リェシュの枠組みを拡張すること。
• ブルハットのモーメントグラフ上に、構成可能で混合された perverse sheaf の圏を定義し、ソルゲル理論的視点から階数付きカテゴリカルOの一般化とすること。
• この圏が階数付き最高重みであることを確立し、フラッグ多様体に対してアチャール＝リェシュが得た結果を一般化すること。
• モーメントグラフとソルゲル bimodule を用いた再帰的赤道の再構築を通じて、半単純群のモジュラー表現を研究するための組合せ的基盤を提供すること。

提案手法

• 幾何的でない場合でも、モーメントグラフ $ \fancyscript{G} $ 上のブラデン＝マクファーソン層の有界ホモトピー圏として、混合導来圏 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{G}) $ を構成する。
• モーメントグラフの組合せ論を用いて、標準的および余標準的層を定義し、シューベルト層の一般化を行う。
• 再統合構造を適用して、$ D^{\text{mix}}(\fancyscript{G}) $ 上に perverse t-構造を定義し、そのハートが構成可能な混合 perverse sheaf のアーベル圏 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $ であることを示す。
• BMP–ソルゲル bimodule 同型を介して、同値 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{B}) \to K^b\text{SBim} $ を確立し、幾何学と表現論を結びつける。
• 階数付き最高重み構造を用いて、関連する代数 $ A^{\text{proj}} $ と $ A^{\text{parity}} $ におけるコーゾール双対性を証明し、これらがコーゾール的で互いに双対的であることを示す。
• Rouquier 複体を $ K^b\text{BMP} \to K^b\text{SBim} $ の同型の下での標準的および余標準的層の像として実現し、その braid 関係を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アチャール＝リェシュの混合モジュラー導来圏は、幾何的起源を持たないモーメントグラフへ一般化可能か？
• RQ2 ブルハットのモーメントグラフ上に定義された構成可能な混合 perverse sheaf 圏は階数付き最高重みか？
• RQ3 この文脈において、Rouquier 複体は標準的および余標準的層の重みフィルトレーションとどのように関係するか？
• RQ4 モーメントグラフ圏から生じる射影的およびパリティ代数 $ A^{\text{proj}} $ と $ A^{\text{parity}} $ の間のコーゾール双対性関係は何か？
• RQ5 アチャール＝リェシュの研究で用いられた再統合構造は、モーメントグラフへ拡張可能か？

主な発見

• ブルハットのモーメントグラフ $ \fancyscript{B} $ 上の構成可能な混合 perverse sheaf の圏 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $ は階数付き最高重みであり、フラッグ多様体に対してアチャール＝リェシュが得た結果を一般化する。
• 混合導来圏 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{B}) $ は、BMP–ソルゲル同型を介して、ソルゲル bimodule の有界ホモトピー圏 $ K^b\text{SBim} $ と同値である。
• 圏 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $ の射影的対象に付随する代数 $ A^{\text{proj}} $ はコーゾール的であり、パリティ層に付随する代数 $ A^{\text{parity}} $ と双対的である。
• Rouquier 複体 $ F_w $ および $ E_w $ は、$ K^b $-実現による BMP–ソルゲル同型の下での標準的および余標準的層の像と同型である。
• 複体 $ \bigoplus_n \text{Hom}_{K^b\text{SBim}}(F_x, E_w\{n\}[i]) $ は、$ x=w $ かつ $ i=0 $ のとき $ R $ に同型であり、それ以外の場合は 0 に同型であり、Rouquier の公式が回復される。